2.8 曲面上静水总压力的计算

在水利工程上常遇到受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、弧形闸门等等，这些曲面多为二向曲面（或称柱面），现以弧形闸门为例来说明二向曲面的静水总压力计算。

图2.21为一弧形闸门，闸门的宽度为b，闸门的一侧有水，其上静水压强分布如图2.21（a）所示。由于曲面上各点静水压强的方向不同，要借助于压强分布图直接计算曲面上的静水总压力是很困难的。一般求法是先分别计算作用在曲面上静水总压力的水平分力F_Px和垂直分力F_Pz，最后再将F_Px与F_Px合成为总压力F_P。

2.8.1 静水总压力的水平分力

选取宽度为b（闸门宽度），截面积为ABC的水体为脱离体，受力分析如图2.21（b）所示。

因脱离体在水平方向是静止的，故该方向合力为零，即

图2.21 曲面静水总压力分析

根据作用力与反作用力大小相等、方向相反的原理，闸门受到的水平分力大小为

上式表明：曲面壁静水总压力的水平分力F_Px等于曲面壁在铅直投影面上的静水总压力。其铅直投影面上的静水总压力，可以按确定平面壁静水总压力的方法（如图解法）来求，当投影面为矩形平面时

式中 Ω——AB曲面的铅直投影面上的静水压强分布图面积；

b——AB曲面的宽度。

也可以用解析法计算

式中 p_c——AB曲面的铅直投影面形心点的静水压强；

A_x——AB曲面的铅直投影面面积。

水平分力的作用线，应通过曲面铅直投影面的压力中心。

2.8.2 静水总压力的垂直分力

同理，脱离体在铅直方向是静止的，在铅直方向合力亦为零，即有

F_Rz=F_PBC-G

是BC平面上受到的静水总压力，BC平面是以和b为边长的矩形水平面，其面积以A_BC表示，所处水深为h₂，故其面上各点的压强都等于γh₂。则

式中 V_MCBN——以MCBN为底面积、b为高度的棱柱体体积。

G=γV_ACB

式中 V_ACB——以ACB为底面积、b为高度的棱柱体体积。

式中 V_MABN——以MABN为底面积、b为高度的棱柱体体积，通常称为压力体，见图2.21（c）。

由作用力与反作用力大小相等的原理，得

式中 V——压力体体积，V_压=V_MABN。

上式表明：静水总压力的铅直分力等于压力体中的水体重量。需要指出的是，压力体只是作为计算曲面上垂直压力的一个数值当量，它不一定是由实际水体所构成。如图2.21（c）所示，压力体由下列周界面所围成：

（1）受压曲面本身。

（2）自由液面或自由液面的延长面。

（3）通过曲面的边缘周界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂平面。

关于垂直分力F_Pz的方向，则应根据曲面与压力体的关系而定：当液体和压力体位于曲面的同侧时，F_Pz向下；当液体与压力体在曲面异侧时，F_Pz向上。

垂直分力的作用线，应通过压力体的体积重心。

2.8.3 静水总压力

如图2.21（a）所示，根据力的合成定理，可得曲面所受静水总压力的大小为

为了确定总压力F_P的方向，可以求出F_P与水平面的夹角α值（图2.22）

或

总压力F_P的作用线应通过F_Px与F_Pz的交点K，过K点沿F_P的方向延长交曲面于D，D点即为总压力F_P在曲面AB上的作用点。

图2.22 确定夹角α和作用点

图2.23 ［例2.6］图

【例2.6】 某坝顶弧形闸门（图2.23）宽b=6m，弧半径R=4m，闸门可绕O轴旋转。当坝顶水头H=2m时，O轴和水面在同一高程上，求此时闸门上所受到的静水总压力。

解：首先画出曲面铅垂直投影面上静水压强分布图A′B′E及铅直分力的压力体图ABF，如图2.22所示。

因此，闸门上所受到的静水总压力大小为117.6kN，与水平方向角度为19.8°，作用点在门的纵对称轴上，距门轴铅直距离1.36m处。

2.8.4 作用于物体上的静水总压力——阿基米德原理

浮力的大小等于物体所排开的液体重量，这一结论早在2000多年前就被希腊学者阿基米德发现，故称为阿基米德原理。现在可以根据曲面静水总压力的计算把它证明出来。

如图2.24所示，一个淹没于水下的物体，该物体可称为潜体。现来分析作用在该物体面上的静水总压力。

图2.24 潜体静水压力

（1）计算水平分力F_Px。将物体表面分成左、右两半，如图2.24（a）所示，这两部分曲面的垂直投影面面积相等，因而作用于物体左、右方的水平分力，彼此大小相等、方向相反、互相抵消；用同样方法可以证明，作用在物体前、后方的水平分力也互相抵消了。由此不难理解，作用在物体整个表面上的静水总压力的水平分力的合力F_Px为零。

（2）计算垂直分力F_Pz。如图2.24（b）所示，将物体分成ABC和ADC上、下两部分。作用于曲面ABC上的垂直分力F_Pz1等于曲面ABC以上压力体V₁的水重，即F_Pz1=γV₁，其方向向下。如图2.24（c）所示，作用在ADC曲面上的垂直分力F_Pz2等于曲面ADC以上压力体V₂的水重，即F_Pz2=γV₂，其方向向上。因此，作在物体整个表面ABCD上的垂直分力为

F_Pz=F_Pz2-F_Pz2=γ(V₂-V₁)

由图中不难看出，下半部和上半部曲面的压力体体积之差刚好等于物体的体积V，即

以上讨论表明，作用于淹没物体上的静水总压力，只有垂直方向的力，其大小等于该物体所排开的同体积的水重，即为阿基米德原理。

液体对淹没物体的作用，由于方向垂直向上，故也称为上浮力。上浮力的作用点就在物体被淹没部分体积的重心处，该点称为浮心。

尽管在证明阿基米德原理的过程中，假定物体全部淹没于水下，但所得结论，对部分淹没于水中的物体，也完全适用。