2.3 直线定向与坐标正、反算

2.3.1 直线定向

确定地面直线与标准方向间的水平角度称为直线定向。

2.3.1.1 标准方向

由于我国位于北半球，所以取以下3个方向的北方向作为直线定向用的标准方向，即真北方向、磁北方向、坐标北方向，统称三北方向。

1.真北方向

如图2.15所示，地表任一点P与地球旋转轴所组成的平面，与地球表面的交线称为P点的真子午线。过P点的真子午线切线方向的北向，称为P点的真北方向。真北方向可用天文测量的方法或陀螺经纬仪测定。

图2.15 真北方向、磁北方向、磁偏角

2.磁北方向

如图2.15所示，过P点及地球磁场南北极所组成的平面，与地球表面的交线，称为该点的磁子午线。过P点的磁子午线切线方向的北向，称为P点的磁北方向。磁北方向可用罗盘仪确定，当自由旋转的磁针静止下来，其北端所指的方向即为磁北方向。由于地球磁极的位置会不断变动，以及磁针受局部吸引等影响，所以磁北方向不宜作为精确定向的基本方向。但由于用磁北定向方法简便，一般会用于独立小区域的测量定向工作中。

3.坐标北方向

高斯平面直角坐标系的x轴正向所示方向，称为坐标北方向。

2.3.1.2 标准方向之间的关系

过不同点的真北方向并不平行，同样过不同点的磁北方向也不平行，而过各点的坐标北方向是平行的。

1.真北和磁北之间的关系

由于地磁的两极与地球的两极并不一致，所以过地面上同一点P的磁北方向与真北方向并不重合，其间的夹角称为磁偏角，用符号δ表示，如图2.15所示。磁偏角的符号有正负之分，当磁北方向在真北方向东侧时称为东偏，δ为正；当磁北方向在真北方向西侧时称为西偏，δ为负。磁偏角的大小也因地而异，在我国，磁偏角的变化约在6°～-10°之间。

图2.16 子午线收敛角

2.真北和坐标北之间的关系

在高斯投影及高斯平面直角坐标系中，中央子午线在高斯平面上是一条直线，作为该坐标系的坐标纵轴，而其他子午线投影后为收敛于两极的曲线，这样过地面上同一点P的真北方向与坐标北方向之间就存在一个夹角，称为子午线收敛角，用符号γ表示，如图2.16所示。同样地，不同地点的收敛角其大小和符号也不是定值，当坐标北方向在真北方向东侧时称为东偏，γ为正；当坐标北方向在真北方向西侧时称为西偏，γ为负。

2.3.1.3 直线方向的表示方法

1.方位角

测量中，用方位角来表示直线的方向。如图2.17所示，由标准方向的北端起顺时针量至某直线的水平角，称为该直线的方位角。方位角的取值范围是0°～360°。

根据标准方向的不同，方位角分为真方位角、磁方位角和坐标方位角3种，真方位角一般用A表示，磁方位角一般用M表示，坐标方位角一般用α表示，如图2.18所示。

3种方位角之间的关系为

图2.17 直线的方位角

图2.18 真方位角、磁方位角和坐标方位角

2.正、反坐标方位角及其间的关系

如图2.19所示，根据方位角的定义，图中α_AB和α_BA都是坐标方位角，它们互为正反坐标方位角。一般约定：对于直线AB，α_AB为正方位角，α_BA为反方位角；而对于直线BA，α_BA为正方位角，α_AB为反方位角。显然，正反方位角相差180°，即

图2.19 正、反坐标方位角

图2.20 坐标方位角推算

3.坐标方位角的推算

在实际测量工作中，绝大多数直线的坐标方位角并不是直接测定的，而是通过与已知方位角的直线连测进行推算。

如图2.20所示，设直线12的方位角α₁₂为已知，观测了水平角β，β为转折角。转折角有左右之分，面向前进方向，位于左侧的转折角称为左角，位于右侧的转折角称为右角，图2.20中β即为左角。由α₁₂和β可计算直线23的方位角α₂₃，即

α ₂₃=α₁₂+β_左±180°

也就是

显然，如果转折角是右角，则有

【例2.1】 如图2.21所示，AB的方位角α_AB=110°15′30″，AB与BC的夹角为150°30′00″，试求BC的反方位角α_CB。

图2.21 方位角推算

解：

2.3.2 平面直角坐标的正、反算

在实际工作中，往往需要通过两点连线的方位角及其距离计算两点间的坐标增量，此时，如果一个点的坐标已知，即可得到另一点的坐标，这就是平面直角坐标的正算；反之，两点的坐标已知，用来计算两点连线的方位角及其距离，这就是平面直角坐标的反算。

2.3.2.1 坐标正算

如图2.22所示，若已知A点的坐标x_A、y_A，AB的水平距离D_AB及其坐标方位角α_AB，求直线另一端点B的坐标x_B、y_B。由图2.22可以看出

图2.22 平面直角坐标正反算

其中两端点的坐标差Δx和Δy称为坐标增量，分别为纵坐标增量和横坐标增量。

由图2.22可以进一步看出，坐标增量可以由直线的距离和方位角计算，即

坐标增量的符号取决于坐标方位角的大小，或者说取决于该直线的方向，其关系见表2.4。

2.3.2.2 坐标反算

在图2.22中，若已知AB两端点的坐标x_A、y_A和x_B、y_B，则可计算AB的水平距离D_AB及其坐标方位角α_AB，即

注意：式（2.19）只是坐标反算方位角的基本公式，实际计算时，应根据坐标差（坐标增量）的符号，对基本公式加以补充才能得到正确的方位角。补充公式形式见表2.4。

【例2.2】 已知A、B两点的坐标为x_A=1237.52m、y_A=976.03m和x_B=1176.02m、y_B=1017.35m。求A、B间的水平距离D_AB和A、B连线的坐标方位角α_AB。

解 根据A、B坐标，计算其间的距离为

又根据A、B坐标可知，Δx_AB=（x_B-x_A）符号为“-”，Δy_AB=（y_B-y_A）符号为“+”，所以有