4 轴系振动特性计算与分析
本文从影响轴系振动的机械因素之一——轴系结构内在动力特性着手，计算分析轴系结构固有动力特性对水轮发电机组旋转轴系振动的影响，其他外部激振因素如水力因素和电磁因素暂不作考虑。因而，拟采用有限元模态分析理论对其进行数值计算。
4.1 轴系计算模型的假设
混流式水轮发电机组的旋转轴系在工作过程中所处的状态非常复杂，动力特性取决于材料、结构、外部激振力等多方面的因素。因此，在建立其有限元模型之前必须对真实轴系进行一系列的简化假设。
（1）假设旋转轴系为一定常系统，并且为线弹性体。
（2）模型材料认为是各向同性的，密度分布均匀。
（3）假定位移和变形都是微小的，即小变形情况。
（4）轴系各部件之间的连接作一体化联结处理，联结后轴系看做一个整体。
4.2 材料定义与网格划分
轴系各零部件材料的物理力学特性，对轴系整体的模态特性有重要影响，计算前应先按表3中所列的材料物理力学特性数据设置轴系各部件的材料参数。
划分网格时，采用自动网格划分的方法来离散实体模型。一般来说，对于同一实体模型，网格划分越密，则单元越小、节点越多，有限元数值解的精度也就越高，因此计算结果的精度也越高，然而对计算机存储容量的要求也越大，通常是在域变量梯度大处（即分析数据较大的地方，如应力集中处），单元划分需要加密。文中采用单元的自动划分时，系统会自动选择一个经过优化的全局控制参数来控制四面体单元的大小和位置，可以很好地对不同的结构进行疏密不等的网格划分，也能很好地对域变量梯度大处进行细化，生成较多的单元，使得网格划分达到最优化。最后生成的轴系有限元计算模型如图2所示，划分网格后模型的相关数据见表4。
图2 轴系有限元计算模型
表4 轴系几何、物理及网格划分数据
4.3 边界条件与计算设定
该机组旋转轴系主要通过3个导轴承和1个推力轴承约束其轴向和径向自由度，其中水导轴承及发电机的上、下导轴承分别约束轴系的径向摆动与转动，即径向的位移自由度和绕相应坐标轴的旋转自由度，推力轴承承担着整个轴系的重量，约束着轴向的位移自由度。故在3个导轴承处给定轴承约束，约束径向位移自由度和绕轴的旋转自由度，在推力轴承处约束轴向位移，并释放绕轴的旋转自由度。
计算时，不考虑预应力，但考虑阻尼的影响，提取轴系的前10阶模态并计算固有频率。同时，为了得到轴系的临界转速，选取5个旋转速度点绘制坎贝尔图，考虑到轴系所受到的约束条件，各点绕X、Y和Z方向上的转速见表5。
表5 轴系计算旋转速度
4.4 前10阶模态分析振型
通过求解计算，最终得到轴系的前10阶模态分析云图及振型，如图3所示。各振型图中虚线阴影表示转子的初始状态，实体与虚线阴影间的相对位移表示转子在该阶模态下的振幅。
从轴系的振型图可以看出，第1阶、第2阶振型表现为轴系的径向平动，第3阶、第4阶振型表现为轴系的摆动，第5阶、第6阶为主轴的弯曲变形，第7阶为转子的扭转变形，第8阶、第9阶为主轴更复杂的连续弯曲变形，第10阶为转轮的扭转变形，且弯扭变形的幅度随着阶数的增高而逐步增大，即该轴系有着平动、摆动、弯曲、扭转、复杂连续弯扭等变化规律，阶数越高，轴系的弯扭变形越复杂。
此外，机组轴系振型的前4阶主要表现为刚体模态，固有频率很小，其后的振型主要表现为弹性模态，这主要是因为空间上的刚体有6个自由度，分别为3个平动和3个转动自由度。一个连续体实际上有无穷多个自由度，有限元分析时将连续的无穷多个自由度问题离散成为离散的有限多个自由度问题，此时，结构的自由度也就有限了。而本文通过边界条件的设置，约束了Y方向上的平动和转动自由度，因此前4阶的刚体模态主要表现为沿X、Z方向的平动和转动。然而针对自由边界的结构系统，完整描述其动力特性的不仅要有弹性模态，还要有刚体模态[7]，但是在实际工程的测试过程中，很多时候人们一般忽视刚体模态，将刚体模态不作为弹性模态测试的一部分，因而很难得到结构的刚体模态。而本文通过计算，可以很直观地还原出轴系的刚体模态，符合旋转结构固有的动力特性规律。
图3 前10阶振型云图
4.5 前10阶固有频率及临界转速
根据计算时给定的转速点及计算所得的各阶固有频率，绘制坎贝尔图，横坐标为旋转速度，纵坐标为频率，得到转速-频率曲线，如图4所示，各阶转速-频率曲线与斜率为1的直线的交点，即为该阶模态的临界转速点，该点所对应的转速即为临界转速。表6给出了轴系前10阶固有频率和临界转速。
图4 坎贝尔图
旋转轴系的临界转速是指数值等于轴系固有频率时的转速，即产生共振时的转速。机组转动轴系工作时受到各种激振力的作用，如果某激振力的频率等于轴系的自振频率，轴系便产生共振。为避免共振所带来的危害，非常有必要对轴系的临界转速进行计算分析，其目的在于设法让水轮发电机组的工作转速避开临界转速，以免发生共振。
从表6中可以看出，轴系前4阶刚体模态的固有频率在任意旋转速度下都很低，而从第5阶弹性模态开始，在同一转速下，轴系的固有频率随着模态阶数的增加逐渐增大，各阶模态的临界转速也逐阶增大。通常，结构系统的弹性模态是所有振动和噪声问题发生的普遍原因，因而在轴系的结构设计中，通常要求机组轴系的额定工作转速低于弹性模态的第1阶临界转速，或者介于第1阶临界转速与第2阶临界转速之间。此外，为确保结构在工作转速范围内不致发生共振，设计结构时要保证转轴的工作转速与临界转速之间至少有15%～25%的安全裕度[8]。
表6 轴系前10阶固有频率和临界转速
本文所计算的水轮发电机组轴系的额定转速为600r/min，即62.80rad/s，而弹性模态的第1阶临界转速（对应表6中的第5阶模态，下同）为104.45rad/s，因而其额定工作转速偏离临界转速的安全裕度为39.9%，完全满足结构设计的动力特性要求，所以机组轴系以额定转速正常运转时是平稳的，不会因转频而发生共振。
然而，该机组的飞逸转速为1064r/min，即111.37rad/s，介于第1阶临界转速104.45rad/s与第2阶临界转速（对应表6中的第6阶模态）130.21rad/s之间，当机组发生飞逸时，需要跨过第1阶临界转速，且飞逸转速偏离第1阶临界转速的安全裕度较小，便会有因转频而发生共振的可能性。
临界转速同转轴的弹性和质量分布等因素有关，对于具有有限个集中质量的离散转动系统，临界转速在数目上等于集中质量的个数；对于质量连续分布的弹性转动系统，临界转速则有无穷多个，且在大小上与轴系的弹性正相关。因此，针对机组飞逸时需要跨越弹性模态的第1阶临界转速而易引起共振的问题，建议在进行轴系结构优化设计时，在材料选择方面可以采用弹性模量较大的材料，以增加轴系的刚度，使得轴系的第1阶弹性模态频率上移，这样第1阶临界转速也相应增加，使机组飞逸转速低于第1阶临界转速并保持一定的安全裕度；同时，也可以考虑在设计时改善轴系结构的质量分布，使其整体质量分布更加均衡。