第1章　绪论

1.1　数学模型研究进展

近年来，随着数值计算方法和计算机技术的发展，水动力及其伴生过程数学模型得到了长足的发展，在计算网格、复杂地形处理、干湿界面处理、求解格式等方面取得了丰硕的成果。

1.计算网格

网格生成是数值模拟的重要步骤之一，网格的布置方式将对数值模型的计算精度产生重要影响。按网格结构的几何拓扑关系，计算网格可分为结构网格和非结构网格。

常用的结构网格包括矩形网格、正交曲线网格和非正交曲线网格等。矩形网格是最简单的计算网格，具有生成简单、便于存储等优点，同时也存在对不规则边界拟合精度较差等缺陷。曲线网格是通过坐标变换生成的，对不规则边界拟合能力较强，在二维水动力及其伴生过程数值模拟中得到了广泛应用。然而，正交曲线网格的生成过程较为烦琐、耗时。

非结构网格是近年来得到迅速发展和广泛应用的计算网格。非结构网格对单元的组织形式没有限制，单元的位置可以任意分布，大小和形状也可以灵活多变，因而具有很强的复杂边界拟合能力。目前较为常用的非结构网格包括非结构三角形网格、非结构四边形网格、非结构混合网格和四叉树网格等。其中，非结构三角形网格生成方法主要包括前沿生成法和Delaunay方法。非结构网格具有网格生成速度快、效率高、便于局部网格加密等优势，目前已被广泛用于二维水动力及其伴生过程数值模拟研究中，其中，非结构三角形-四边形混合网格是当前应用最为广泛的网格类型。

2.复杂地形处理

地形条件对二维水动力及其伴生过程起着决定性的作用。从控制方程上看，地形对水流的作用体现在底坡项上；从物理机制上看，总体而言，物质输运的主要载体——水流是在重力作用下沿着地势低的方向流动。因此，准确模拟二维水动力及其伴生过程的关键在于数值模型能够较好地处理强不规则地形。

近年来，国内外学者提出了不同的复杂地形处理方法。王鑫等（2009）分析了底坡项对数值稳定性的影响，指出陡峭坡面上的水流数值计算时，即使时间步长满足克朗稳定条件（Courant-Friedrichs-Lewy，CFL），也可能出现计算失稳的情况，或者需要远比克朗稳定条件更为苛刻的时间步长，从而导致计算效率急剧下降。为解决该问题，王鑫等（2009）提出了用算子分裂方法处理底坡项的自适应时间步长方法，在保证计算稳定的前提下模型效率达到数量级上的提高。Liang和Borthwick（2009）提出了复杂地形条件下自适应网格生成技术，实现了地形变化剧烈的地方自适应加密网格，提高了模型的地形分辨能力。Begnudelli和Sanders（2006）将底高程定义在三角形顶点上，使得数值模型中地形表达具有二阶精度，提高了模型的模拟准确性。宋利祥等（2011）基于斜底三角单元，建立了适应复杂地形的溃坝洪水演进模型。

3.干湿界面处理

干湿界面处理是数值模拟的难题之一。首先，干湿界面附近水深极小，因此在对流速进行更新时容易产生大流速，进而影响计算效率；其次，干湿界面处Riemann解结构中波前速度大于特征速度，因而容易引起计算失稳问题。围绕上述问题，国内外许多学者提出了不同的干湿界面处理方法。Zhao等（1994）根据水深值大小对单元和边进行干湿分类。George（2008）提出了干湿界面处重构Riemann问题的镜像单元法，根据不同的左、右单元水位和底高程情况，分别确定用于计算数值通量的Riemann问题左、右初始间断值，提高了模型的干湿界面处理能力。Liang和Borthwick（2009）提出了干湿界面处底高程的局部修正方法。Begnudelli和Sanders（2006）提出了斜底三角单元上的水位-体积关系，能在保证水量守恒的前提下更为合理地对单元的干湿状态进行分类。宋利祥等（2011）提出了斜底三角单元的干湿分类方法，实现了半干半湿单元的动量方程计算与流速更新，提供了干湿界面计算精度。

4.求解格式

自20世纪50年代首次应用于模拟河道水流以来，有限差分法至今仍是二维水动力及其伴生过程数值模拟中应用较为广泛的基本方法。该方法数学概念清晰直观，表达简单，其解的存在性、收敛性和稳定性早已有较完善的研究成果，是比较成熟的数值模拟方法。根据所采用的空间差分和时间差分形式不同，有限差分法可以分为显式、隐式及显-隐式交替等方法。显式差分格式为了保持其计算稳定性，需严格遵守克朗稳定条件，时间步长和空间步长受到限制。隐式差分格式是无条件稳定的，但在实际应用中，其时间步长也有一定的限制。交替方向隐格式法（Alternating Direction Implicit，ADI）是一种显-隐格式交替使用的有限差分格式，目前已广泛应用于河道及潮汐河口计算中，然而在模拟溃坝洪水等具有强间断水面问题时遭到失败。

有限体积法把整个计算区域划分为若干相互连接但不重叠的控制单元，计算出每个控制单元边界沿法向流入与流出的流量和动量通量后，对每个控制单元分别进行流量和动量的平衡计算，最终得到计算时段末各控制单元的平均水深和流速。有限体积法能严格满足物理守恒定律，不存在守恒量的误差。有限体积法的误差主要来自对界面数值通量的估算，目前已经发展了多种界面数值通量计算方法，主要包括通量平均格式、通量向量分裂格式（Flux Vector Splitting，FVS）、通量差分分裂格式（Flux Difference Splitting，FDS），以及Roe、Osher、HLL、HLLC等Riemann求解算子。其中，基于Riemann问题求解的Godunov型格式是目前模拟二维水动力及其伴生过程的主流数值格式。

有限体积法既具有几何灵活性，又具有较高的计算效率，在求解溃坝洪水等具有大梯度或间断解的强非恒定水流运动问题时具有非常大的优势。同时，由于具有严格的物质守恒性，有限体积法在对流-扩散方程求解方面也具有较好的应用前景。

5.数学模型体系

水动力及其伴生过程数学模型包括浅水模型、波浪模型、水质模型、泥沙模型等。长期以来，国内外学者从单一或者轻量级耦合的角度研究较多，例如水流模型、水沙耦合模型或波流耦合模型。这类模型往往针对某一类具体的应用，综合考虑计算精度和效率的需求，对主要的动力学过程进行了合理概化，忽略或通过简化方式处理其他次要的伴生过程。随着计算机技术的进步，尤其是近年来GPU设备的快速发展，普通计算机和小型工作站的计算能力得到了显著提高，使得水动力及其伴生过程全耦合模型的高性能计算成为可能。因此，从增强模型适用性的角度，建立水动力及其伴生过程耦合数学模型及高速计算方法是未来的发展趋势之一。