2.流言蜚语
常言道：“好事不出门，坏事传千里。”最近一些小道消息在城里传得沸沸扬扬。有些事在发生后不到120分钟，每个人都听说了那件事，大家都知道了。
它令人叹为观止的传播速度，显得有些诡异。可是，倘若以数学方法解释该现象，就不会觉得奇异或难以置信——一切事物都能以数字的方式加以阐述，无须借助于小道消息的特性来解释。
一
我以实际发生的事情为实例来具体和大家说说。一天早上8︰00，省会出现了位外乡人，此人掌握一条所有人都想知道的信息（图29）。在这位客人入住的宾馆，他把信息透露给了3位当地人。假设这个过程用时一刻钟。
这说明，早上8︰15有4个人得知该信息：外乡人与3位当地人。
图29
人们都有与他人分享信息的嗜好，外乡人和几位当地人也不例外。于是3位当地人不约而同地分别将听到的信息说给了自己熟悉的另外3个人（图30）。假定共用时15分钟——与他人分享信息还需一段时间。这说明，此信息在传到省城仅30分钟后，得知这条信息的就多达13人（4+3×3=13）。
图30
而且知道这件事的人远不止这些人，人人都有倾诉的欲望，得知这条信息的另外9个人又都禁不住分头将其透露给了自己认识的其他3个人，于是到了8︰45，得知这条信息的人数上升为40人（13+3×9=40）。
假若此信息以如此的方式接着在省城流传，换言之，听说这件事的人也是在一刻钟的工夫里顺利将其告诉另外的3个人，这条信息就按以下的时间序列传递：
9︰00得知该信息的人有121人（40+3×27=21）；
9︰15就有364人知道那条信息（121+3×81=364）；
9︰30就有1 093人得知这条信息（364+3×243=1 093）。
通过数学运算，大家不难看出，一条信息仅用了1小时30分钟就有近乎1 100人知晓。或许，这在有50 000人的省城并不值得大惊小怪，可能大家会觉得，不见得省城的人都会迅速得知该信息。大家先别急，我们用数学工具来算算，就知道它流传的大概情况了：
9︰45有3 280人知道了这条信息（1 093+3×729=3 280）；
10︰00就有9 841人得知这条信息（3 280+3×2 187=9 841）；
10︰15，省城的29 524人得知这条信息（9 841+3×6 561=29 524），也就是说又用了一刻钟，省城
的人就了解了这条信息（图31）。
图31
早晨8︰00外乡人将这条信息带进省城，不到11︰00几乎全城的人都知道了。
二
大家想象不到吧？以上的计算还有简易算法，由此我们便可得到下面的算式：
“1+3+3×3+3×3×3+3×3×3×3×3+3……”能不能如同我们之前运算数列“1+2+4+8……”似的很快求出最终的值呢？倘若大家明白这里合起来的数字存在下面这些特性，会立刻反应过来——原来还可以像以前那么运算：
3可以写成1乘2加1；
9等于1与3之和与2相乘再加1；
27为1与3和9之和乘2再与1相加；
81是1与3和9及27之和乘2加上1；
……
总结一下：数列的各个数字都为一些具有某些规律的数字求和后与2相乘，再与1求和的结果。
很显然，倘若是求自1至某个数字构成的数列总和，就以最末的数字与它的
相加就行了（也就是从这个数里先减掉1）。
我们还是以实例加以说明：
1+3+9+27+81+243+729
=729+（729-1）÷2
=1 093
三
在这个故事中，得到信息的人仅将其所获得的信息告知了其他3个人。倘若省城的市民爱交际又很善于言谈的话，他们就不会把得到的信息只告诉另外3个人，而是5至10人，这么一来信息的流传速度更惊人。假若每个人每次传播给5个人，我们的运算结果就将变成如下的状况：
8︰00仅一人掌握该信息；
8︰15就有6人（1+5=6）知道这条信息；
8︰30的时候有31人（6+5×5=31）得知了信息；
8︰45时有156人（31+25×5=156）掌握了该信息；
9︰00就有781人（156+125×5=781）知晓了这条消息；
9︰15知道这条消息的人就是3 906人（781+625×5=3 906）了；
9︰30便有19 531人（3 906+3 125×5=19 531）掌握了这条信息。
以此速度流传的话，这条消息不到9:45就会在这座有50 000人的省城人人皆知。
若是得到该信息的人把它讲给10个人听，那样一来流传的速度只会更快。于是我们就该采用下面的数列来运算了：
8︰00仅外乡人知道；
8︰15就有11人（1+10=11）了解这条信息了；
8︰30知道消息的人就有111人（11+100=111）；
8︰45可就有1 111人（111+1 000=1 111）获知了该消息；
9︰00的时候11 111人（1 111+10 000=11 111）获悉了这个信息。
显然，如此运算下去的话，那么下一个数字就该是111 111了对吧？这一运算值足以证明在9︰00过一点儿的时候这条消息就已经是满城皆知了。这充分说明，消息能在一个小时左右流传至省城大街小巷的每个角落（图32）。
图32