4.棋盘的由来
象棋（特指国际象棋）是古代流传下来的娱乐活动。它的历史约有两千年，正因为历史悠久，流传于坊间的关于象棋的小故事有很多，无从考证它们的真实性。我下面要告诉大家的就是一个与象棋有关的在民间广为流传的故事。要搞清楚这个故事与会不会下象棋无关，大家只要知道象棋得在有64格的棋盘上玩就行了。
一
象棋的发源地是印度。就连舍拉姆皇帝刚玩象棋之际，都对玩这个游戏所应具备的技能和变幻莫测的布局感慨不已。当他听说这项娱乐活动的发明者是一个普通臣民后，就决定要赏赐这个人。
象棋的发明者塞塔被召唤到皇帝跟前，他以教书育人为生，不怎么讲究衣着，但知识渊博。
“你发现并大力推广的游戏有益于提升大家的智力，也非常有意思，所以我有意奖赏你，我的学者塞塔。”
发明家向皇帝行了一个礼。
“我的国库很殷实，你想要什么我都会成全你。你尽管讲你想要的赏赐，我会满足你的心愿的（图42）。”
图42
发明家一言不发。
“别不好意思，”皇帝安慰道，“你不妨直言相告，我会慷慨地赐给你想要的东西。”
“仁慈的陛下，请您允许我想想。我得好好思考一番才能告诉您，明日我会说出我的需要。”
皇帝应允了。
思考了一夜，天亮后发明家依约赶到了皇宫，他微不足道的请求让皇帝震惊不已。
“请您下旨，在棋盘上的第一格给我放一粒小麦。”
“就只要一粒小麦？”皇帝不解地问。
“正是，慷慨的陛下。请您下旨，在第二格摆2粒小麦，第三格放4粒小麦，第四格搁8粒，第五格16粒，第六格32粒……”
“行了！”皇帝非常生气，怒气冲冲地阻止发明家继续说下去（图43），“我会奖赏你想要的微不足道的小麦的，可是你的要求与我期望给你的赏赐太不匹配。你期望得到的奖赏与我的身份、地位及财富相去甚远，你无视我的威严，轻视我的仁爱。你是一位教师，理应懂得怎么对待君王及他爱民如子的情怀，你应该在众人面前率先垂范。你可以走了。我会下旨让仆人将你要的麦子给你的。”
图43
发明家满足地笑了，走出大厅，径直到皇宫前的门口候着自己的赏赐。
二
用午膳的时候，皇帝记起了发明了象棋的塞塔，便派人去查看那位过于草率的发明家有没有领走奖赏。
“仁慈的皇帝，大家正在遵您的谕旨行事。宫里的所有数学家都在算您答应给发明家的小麦数目。”
皇帝面露不悦之色。他受不了仆人们不把自己的命令当回事，拖拖拉拉。
夜里临睡前，国王又想起了赏赐发明家小麦的事，便又一次过问发明家是否已带着自己的奖赏离去。
“日理万机的陛下，您所厚爱的数学家们还在废寝忘食地计算应给发明家的麦子的数目，他们都想尽办法以期在日出后获得确切的结果。”跟随皇帝的仆人回禀道。
“就这么点儿事，这么长时间还处理不好？”皇帝怒不可遏，吼道，“天亮前，在我睡醒的时候，就一定得把小麦给发明家。我不想为这件事再下旨！”
图44
皇帝起床后，仆人禀报，宫里的首席数学家有要事请示。皇帝命其进宫（图44）。
“我想知道，”还没等首席数学家说话，皇帝就急切地说，“那个塞塔要的微不足道的赏赐给了没有？”
“微臣正为此事才鼓起勇气觐见您。”德高望重的数学家回禀皇帝，“经宫里所有的数学家昼夜反复计算，认真核实，那个塞塔所要的小麦数量实在是太惊人了……”
“不管有多少，”国王不等全国最聪明的数学家讲完，便说，“国库有的是粮食。我答应了赏赐他，你们就赶紧给他吧……”
“您的大度和慷慨令微臣敬佩，可是吾皇您无法办到呀！拿出您所有的粮食也无法满足塞塔的要求，王国所有的粮食也不足以给塞塔，整个地球上的粮食都不够给塞塔。倘若您还执意兑现所承诺的奖赏，那您只有下旨让全国的人开荒种小麦，甚至填海造田，连常年积雪不化的北方也得千方百计融雪开垦种小麦。然后您再下旨，把所有收获的小麦送给发明家，唯有如此方可兑现自己的诺言。”
首席数学家的一番话惊得皇帝半晌说不出话来。
“你们算出的数字非常庞大？那好，你说给我听听吧。”皇帝半信半疑地说道。
“18 446 744 073 709 551 615粒小麦（图45）。”
图45
三
流传于民间的故事就是这样的。至于是否真的发生过这样的事我们不得而知，可是故事中皇帝愿意赏赐的小麦数量确实是这么多。小伙伴可以自己用心算算，从数字1起，以此加1、2、4、8……也就是对2求63次平方，求出的最终值便是皇帝答应付给发明家的奖赏。以此书的计算方法，是拿最后一个数与2相乘后与1求差，如此便可知道所应付给发明家的小麦数目。换句话说，就是要运算2与2相乘63次的值，即：
2×2×2×2×2……（2与2相乘63次）
为了使运算变得容易些，大家可将需相乘的64个2依照每组10个的标准，分为6组，其余的一组4个2。如此一来，我们很容易便可求出10个2连乘的结果为1024，4个2连乘为16。这意味着，我们运算的最后值为：
1 024×1 024×1 024×1 024×1 024×1 024×16
通过计算，1 024×1 024为1 048 576。于是运算式便可以写成如下的形式：
1 048 576×1 048 576×1 048 576×16
计算出最终值后减一——就会得到与前面所求相同的小麦数目，即：
18 446 744 073 709 551 615
图46
倘若大家有兴趣联想小麦的数目到底如何惊人，不妨通过求储存它的库房的面积来了解。已知一立方米储藏的小麦数目为1 500万粒。那么，通过我们的推算，发明家应得的小麦所需占用的库房面积为12 000立方千米（也就是12 000 000 000 000立方米）。
如果将库房的高设为4米，宽是10米，推演下去的话库房的长应为300 000 000千米——换言之，太阳和地球间的距离仅为库房长度的
（库房长为太阳和地球间距的2倍）（图46）。
四
很明显，印度的皇帝即使再慷慨也兑现不了自己的承诺。不过他要是够聪明的话可以找个免责的办法，他可以提出让发明家亲自清点一下他自己所要求的小麦数量。
若是发明家要清点奖赏给他的小麦数目，他就得昼夜不歇地工作，就算他以1粒/秒的速度数，一夜的工夫他最多数出86 400粒小麦（也就是
俄斗，俄斗是俄国旧的度量衡，也是体积的单位。1俄斗=26.239升）。发明家10天10夜不停地清点才能数出100万粒小麦。1立方米小麦他得数上180多天，就算他夜以继日地清点上10个年头，经他手清点的小麦都不足100俄担（俄国旧的度量衡单位即体积单位。1俄担=8俄斗）。通过以上的计算，大家应该可以看出，就算发明家一直忙着数自己所要的小麦，那么，即使他数到自己生命的尽头，他所清点的小麦数目也只不过是他应得的微乎其微的那部分（图47）。
图47