4.在月球上发射大炮
【题目】在地球上发射炮弹,炮弹的初速度可以达到900米/秒。我们知道,物体在月球上的重量是地球上的。如果这门大炮是在月球上发射炮弹,炮弹的初速度是多少呢(不考虑因月球没有大气层而导致的差别)?
【解题】有相当一部分人会给出这样的回答——无论在地球还是在月球上,火药气体的压力都相等,但物体在月球上的重量却是地球上的,那么炮弹在月球上的速度一定是在地球上的速度的6倍,也就是900×6=5400米/秒,所以炮弹在月球上的速度是5.4千米/秒。
这个答案看上去无懈可击,但很遗憾它并不正确。
力、加速度和重量之间根本没有前面分析过程中提到的关系。牛顿第二定律的力学公式(F=ma)告诉我们,与力和加速度有关的是质量,不是重量。炮弹在月球上的质量与在地球上相同,那么火药气体产生的压力作用于炮弹而产生的加速度无论在月球上还是在地球上都是一样的。在加速度和距离都相等的情况下,速度当然是一样的(这个结论可在公式得到,这里的s指炮弹在炮膛中运动的距离)。
可见,大炮即使挪到月球上发射,炮弹的初速度也与在地球上相等。但如果真的在月球上发射,那么这枚炮弹究竟能射多高、多远呢?这是一个完全不同的问题。但可以肯定的是,月球上那少得可怜的重力对这一问题的结果产生了重大的影响。
假设这门大炮在月球上将炮弹以900米/秒的速度垂直向上发射出去,那么炮弹可达到的最高高度可以表示为:,这个公式可以在本章第一节给出的公式表格中找到。
我们已经知道月球上的重力加速度是地球上的,那么a的值就是。将a值代入上式,可推出:,则炮弹垂直向上最大可达的高度:。如果是在地球上发射,不考虑大气层的影响,炮弹垂直向上最大可达的高度:。
结论是:炮弹在月球上和在地球上的初速度相同,但在月球上发射可达的高度却是在地球上的6倍(未计入地球上的空气阻力)。