共振现象探究——二阶常微分方程的应用
赵雷嘎
北京化工大学
作品标题:共振现象探究——二阶常微分方程的应用
所属课程:高等数学
相关知识点:二阶常微分方程的求解
参考文献:[1]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].7版.北京:高等教育出版社,2014.
[2]王高雄,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2001.
[3]陈治.大学物理[M].北京:清华大学出版社,2007.
一、教学背景
共振现象是自然界中普遍存在的现象,广泛存在于力学、电磁学、声学等学科领域,与其密切相关的数学理论是微分方程的求解和分析。本节课运用数学方法探究共振现象的机制:从著名的塔科马大桥坍塌事故出发,创设问题情境,激发学生的探究兴趣;采用问题驱动式、启发式的教学方法,逐层深入进行建模分析。本节课对培养理工科学生应用数学的意识及能力起到了积极的促进作用。
二、教学目标
学生通过观察视频内容,能够针对物理共振现象建立微分方程模型,通过模型的分析求解,探究共振发生的机制;理解微分方程数学建模的方法,能够在今后的学习和研究中应用数学模型解决实际问题;发现各学科知识的相关性,掌握数形结合的思想方法,体会数学方法应用的普遍性。
三、教学内容与重点、难点分析
1.主要内容
(1)由塔科马大桥坍塌引入共振问题。
(2)建立二阶常系数非齐次微分方程模型。
(3)通过对模型求解分析,研究引起桥剧烈振动的关键因素。
(4)介绍其他共振现象。
2.教学重点
(1)数学微分方程模型的建立。
(2)对微分方程的解进行分析。
3.教学难点
理解微分方程相应的物理现象。
四、教学方法与过程
1.问题引入
通过视频讲述塔科马大桥在强度不大的风力作用下坍塌的事故,创设问题情境,提出问题:如何建立数学模型进行研究,并给出合理的解释?
2.建立数学模型
对大桥进行合理的简化,建立力学振动模型。通过观察模拟实验,了解气流对桥面作用力的特点,给出风驱动力的刻画,从而对系统进行受力分析,根据牛顿第二定律建立位移振动方程,其为二阶常系数非齐次微分方程。采用问题驱动式、启发式的教学方法,逐层深入进行建模分析。
具体过程分为以下两步。
(1)设桥面偏离平衡位置的位移为,风产生的周期性作用力刻画为。其中,为驱动力角频率。通过受力分析和牛顿第二定律得到振动方程:
式中,。
(2)进一步认识方程所含的项及参数,指出为固有频率,为阻尼系数。
3.模型的分析求解
利用方程分析引起桥振动的关键因素——桥的固有频率和风荷载的驱动力角频率。这里采用由简单到一般的方法对方程进行分析求解,并将方程的解和物理运动状态对应,做出解的图形,利用数形结合找到解决问题的办法。具体地,首先,求出解的表达式为,并获得稳态振动时的振幅为。
然后,通过分析振幅,找到振幅达到最大的条件:,指出当驱动力角频率与物体的固有频率接近时,物体的振幅达到最大,此时发生机械共振。进而通过函数曲线(见图1),直观地分析共振振幅与阻尼系数的关系。最后,通过对以上数学微分方程的解进行分析,可从精确的数值角度找到塔科马大桥坍塌的原因。
图1 共振振幅函数曲线
4.总结与拓展
对解决桥梁振动问题的数学方法进行小结,指出共振在各学科领域的实例。作为拓展,可以提出:如果考虑桥梁的摇摆和上下振动,将要研究高维自由度模型,会用到矩阵特征值和偏微分方程理论。最后,自然地引出收音机选台的电路问题,以此激发学生进一步学习的兴趣,使其体会数学方法应用的普遍性。
五、教学总结
本节课为大学数学应用案例,利用二阶微分方程的知识解释了导致大桥坍塌的共振现象;通过对微分方程解的直观讨论,得到了大桥共振的数学解释,并且对共振条件和共振振幅给出了定量的描述;最后自然地引出了其他共振问题,如收音机选台问题,激发学生进一步思考的兴趣。
整节课的讲授过程由浅入深,便于学生理解,并且从实际出发,激发了学生的学习兴趣,培养了学生应用数学的意识与能力。