2.1 CNN的核心——“卷积”
本案例主要介绍卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，CNN）。在此之前，需要先对“二维卷积”（以下简称“卷积”）进行深入了解，它是研究卷积神经网络的前提和基础。
从系统工程的角度看，卷积是为研究系统对输入信号的响应而提出的，卷积有很多种，本节着重介绍二维滑动卷积。
滑动卷积涉及三个矩阵：第一个矩阵通常尺寸较大且固定不动，本书称之为“输入矩阵”（或“待处理矩阵”）；第二个矩阵尺寸较小，在输入矩阵上从左到右、从上到下进行滑动，本书称之为“卷积核”；卷积核在输入矩阵上面滑动的过程中，将对应的两个小矩阵的相应元素相乘并求和，结果依次作为第三个矩阵元素，本书称该矩阵为“特征矩阵”。上述三个矩阵及卷积运算符如图2-1所示。
下面，详细地看一下滑动卷积的运算过程。将图2-1中所示的两个矩阵进行卷积运算。
步骤1：将阴影部分的4个元素与卷积核对应位置的元素相乘后，再相加，作为特征矩阵的第1个元素，如图2-2所示。
图2-1 输入矩阵、卷积核、特征矩阵及卷积运算符
图2-2 滑动卷积运算步骤1
计算过程如下。
(1×1) +(3×0) +(2×0) +(9×1) =10
步骤2：在步骤1的基础上，向右滑动1个单位，将阴影部分的4个元素与卷积核对应位置的元素相乘后，再相加，作为特征矩阵的第2个元素，如图2-3所示。
图2-3 滑动卷积运算步骤2
步骤3：在步骤2的基础上，向右滑动1个单位，将阴影部分的4个元素与卷积核对应位置的元素相乘后，再相加，作为特征矩阵的第3个元素，如图2-4所示。
图2-4 滑动卷积运算步骤3
步骤4：一旦完成第一行的运算之后，上述运算过程就从下一行开始从左到右继续进行，如图2-5所示。
图2-5 滑动卷积运算步骤4
步骤5：重复相同的步骤，直到全部完成（见图2-6）。
图2-6 滑动卷积运算的结果
在上述卷积运算的过程中，每次都是滑动1个像素。当然，也可以每次滑动两个像素乃至多个像素。每次滑动的像素个数，本书称之为步长（Stride）。
请读者仔细观察图2-1所示的输入矩阵与特征矩阵的元素的个数，不难发现，特征矩阵元素的个数少于输入矩阵的元素个数（请读者思考其中的原因）。如果需要得到与输入矩阵元素个数相等的特征矩阵该如何处理呢？方法很简单，需要对输入矩阵的边缘添加0元素，这个过程称之为零填充（Zero Padding）。通过零填充，实现滑动卷积的过程如图2-7所示。
在二维滑动卷积运算过程中，卷积核在滑动过程中始终都在输入矩阵内部，所得到的特征矩阵的元素个数会比输入矩阵元素个数少，在程序中称这种滑动卷积方式为valid；如果采用零填充的方式，使特征矩阵元素的个数与输入矩阵元素个数相同，在程序中称这种滑动卷积方式为same。
如图2-8所示，特征矩阵的（3，1）元素的值最大。那么，为什么该元素的值最大呢？通过观察输入矩阵和卷积核元素的特征可知：第（3，1）元素所对应的子矩阵与卷积核在形态上类似，二者都是对角矩阵，而且相同位置上的数值都较大。由此可见，子矩阵与卷积核在形态上类似时，卷积运算就会生成一个较大的值。
图2-7 通过零填充实现滑动卷积的过程示意图
图2-8 特征矩阵中第（3，1）元素的计算过程
如图2-9所示，输入矩阵中第（3，1）元素的值为20，在输入矩阵中的值是最大的，但通过卷积运算后结果为2，原因是子矩阵与卷积核的形态差异很大。
图2-9 特征矩阵中第（2，1）元素的计算过程
如果要使特征矩阵中第（2，1）元素的值变大，可以将卷积核更换为和对应的子矩阵与卷积核在形态上类似的，如图2-10所示。
图2-10 更换卷积核后特征矩阵中第（2，1）元素的计算过程
通过上面的分析可知，对二维数字图像进行卷积运算，可以判断图像的像素与卷积核的相似程度，相似程度越高，得到的响应值越大，因此可以通过滑动卷积运算来提取图像的特征。