3.4.1 Ogden模型

Ogden模型是仿真中非常常用的橡胶模型，这个基于现象学的橡胶模型的应力应变关系是基于应变能W来描述的。 应变能W由两部分组成： 应变偏量能是一个基于偏伸长率的函数， 用于描述剪切变形； 体积应变能是一个用于描述体积压缩的应变能U（ J）。 这个模型在Radioss中的很多橡胶卡片 （比如LAW82、 LAW42 ） 中有应用。 下面是LAW82 和LAW42 中应变能的公式，这两个公式都使用了Ogden模型， 但在体积应变能计算上稍有差别。

1 ） LAW82：

2 ） LAW42：

式中， W是应变能； λ_i是i方向的主伸长率；， 是偏伸长率； J为相对体积比； α_p和μ_p为材料参数。初始剪切模量μ和体积压缩模量K计算如下。

式中，ν是用于计算体积压缩模量的泊松比。

1.伸长率λ

为了更好地理解Ogden材料本构的应变能W，这里介绍一下伸长率λ，它通过材料试验中得到的工程应变计算而来。

这个伸长率还可以分解为偏伸长率和主伸长率λ_i两部分。 主伸长率λ_i用于描述三个主轴上的体积应变能U（J）， J=λ₁ ·λ₂ ·λ₃。以图3-66所示的1方向进行拉伸， 那么1方向的工程应变是ε₁ =（伸长量与初始长度的比值）， 而超弹性材料常用的主伸长率是（最终长度和初始长度的比值）。 工程应变和主伸长率的关系是λ_i=1+ε_i。

用于描述应变偏量能的偏伸长率， 这里的J=λ₁·λ₂·λ₃ 是相对体积比， 或称为第三应变不变量， 它是最终体积和初始体积的比值， 不同的表达方式如下。

2.初始剪切模量

Ogden模型中的材料参数 μ_p和α_p用于初始剪切模量的计算，为了满足计算稳定性并更好地拟合应变应变曲线，Ogden的这两个参数还需要满足μ_p·α_p>0。

3. Ogden模型阶数

材料参数μ_p、α_p在Ogden模型的应变能公式中是成对出现的，μ_p、α_p的对数也是Ogden模型的阶数。一对 μ_p、α_p只能描述线性超弹性行为，两对μ_p、α_p可以描述绝大多数的非线性超弹性行为，通常可以模拟橡胶700%的变形，在现实应用中需要三对以上的μ_p、α_p 才能很好地描述的超弹性材料非常少。

（1）Ogden一阶模型

当LAW42卡片中p=1或LAW82卡片中i=1时，表示使用Ogden一阶模型（Ogden 1st Or der），此时LAW82中的应变能和LAW42中的应变能分别为

在这个基础上， 当α₁ =2时就是Neo-Hookean模型， 比如在LAW82卡片中， 设，那么应变能公式就可以表示为

又由于应变第一不变量可以描写为， 所以常见的是考虑不可压缩 （即没有体积应变能） 的Neo-Hookean模型为

Neo-Hookean模型一般可以用于描述变形不大（不超过20%变形）的超弹性材料。

（2）Ogden二阶模型

当LAW42卡片中p=2或LAW82卡片中i=2时，表示使用Ogden二阶模型，此时LAW82和LAW42中的应变能分别为

在这个基础上， 当α₁ =2， α₂ = -2时就是Mooney-Revilin模型。 设，， 并且材料不可压缩 （即没有体积应变能） ， 那么应变能公式就可以表示为

Mooney-Revilin模型是一个简化的非线性模型，一般可以描述变形小于100%的超弹性材料。

依次类推p=1~5（i=1~n），在LAW42中最多可以描述Ogden五阶模型，LAW82中可以描述超过五阶的Ogden模型。不同阶数用于不同精度要求的拟合。如图3-67所示，一阶模型在低应变区可以很好地拟合，但是高应变区拟合很差，而二阶模型无论在低应变区还是高应变区都比一阶模型好。

4.超弹性应力计算

基于应变能的超弹性材料本构的主应力计算公式为

式中，就是能够引起体积变化的静水压力p。

5.超弹性材料的不可压缩性

一般认为橡胶材料很难压缩体积，因此通常也可以认为是不可压缩材料。在应变能公式中，关于体积的压缩是由体积应变能部分表达的， 当材料不可压缩时， 即材料体积不会变化， 那么体积应变能部分就为零， 即相对体积比J=1， 没有相对体积的变化， J=。 除此以外， 对于完全不可压缩材料有泊松比 ν =0. 5 ， 这样会导致 K （ K = μ无穷大， 从而导致仿真计算实体单元中的声速也无穷大， 最终使得模型在显式积分法中的临界时间步长无穷小。 如图3-68所示， 泊松比越接近0. 5 ， 数值计算结果越接近试验值； 如图3-69所示， 泊松比越接近0. 5 ， 计算时间步长也越小。 为了平衡计算精度和计算效率， 通常Radioss推荐使用ν=0. 495来描述完全不可压缩材料。

6. Ogden材料参数

很多Ogden材料卡片（如LAW42、LAW62、LAW82等）需要输入Odgen材料参数μ_p、α_p，这些参数需要用户事先通过拟合试验数据（比如单轴拉伸试验）来取得。另外需要注意，LAW62、LAW82要求输入的Ogden参数与LAW42略有不同，它们之间的转换关系如下。

为了方便用户使用， Radioss还有很多超弹性材料卡片允许用户直接输入试验中得到的工程应力应变曲线， Radioss会自动拟合相应的材料参数， 比如LAW69、 LAW88。 以LAW69为例， 直接使用单轴试验数据 （工程应力应变曲线）， 选择LAW＿ID=1， 选择所需的Ogden阶数N＿PAIR，如图3-70 所示。 Radioss自动拟合的Ogden 参数会在starter 输出文件中打印出来以供校验， 如图3-71 所示。

Ogden模型通常还会根据 Drücker稳定性准则检查Ogden参数的变形应用范围，这个准则需要增量应力相关的增量功总是大于零，否则材料模型将不稳定。

式中,i为主方向，这样应变的变化可以描述为

而dτ_i=J·dσ_i就是Kirchhoff 应力的变化，也可以描述为dτ=D×dε，即Kirchhoff应力和应变的关系。

根据Drücker稳定性准则需要满足

式中，D是材料刚度矩阵，描述材料应力应变的斜率。

如果材料模型稳定，则需要这个材料刚度矩阵D一直是正的（应力应变曲线的斜率是正的、向上的），因此矩阵D必须满足

Kirchhoff 应力在Ogden模型中为

既然， 则对于给定的Ogden参数α_p、μ_p， 只要满足 I₁ >0、 I₂ >0、 I₃ >0， 满足Drücker稳定性准则的应力范围就可以计算出来了， 如图3-72所示。

Radioss的LAW42和LAW69中都会自动按照Drücker稳定性准则执行检查， 并将检查信息打印在starter的输出文件中以供参考。 例如， 材料模型中设置了下面的 Odgen 参数时， Radioss 在∗0000. out文件中打印的信息会清楚地显示针对不同的载荷， 该材料参数可以用于哪些材料应变范围。

μ ₁=13.99077258830 α₁=3.788192935039

μ ₂=-9.13454532223 α₂=-7.17617341059

μ ₃=8.904655103235 α₃=-7.27028137148

对于Neo-Hookean 模型，由于C₁₀>0 （μ₁>0）,材料总是稳定的，所以无须进行此项检查。而对于Mooney-Rivlin 模型，则需要进行检查,比如当C₀₁或者μ₂任意一个为负数时，会导致材料模型不稳定。