2．迷人的曲线和曲面

继欧几里得之后的几何第一人应该是16世纪的笛卡儿（Rene Descartes，1596—1650）。笛卡儿对科学的贡献不仅限于数学，他被认为是西方现代哲学的奠基人。他有一个著名的哲学命题“我思故我在”：我存在，是因为我具备推理的固有能力。笛卡儿提倡自由地“普遍怀疑”，提醒人们不要轻易相信不那么可靠的感官。笛卡儿的哲学思想为我们确立了对科学研究应有的基本态度。他也将自己的哲学思想用于数学。正是为了保证数学研究的严谨可靠，他引入坐标系而创造了解析几何。

引入坐标概念的解析几何是几何发展中的一个重要里程碑。这种解析处理的方法使几何问题变得简单多了，并且使可研究的图形范围大大扩大了。对于平面曲线来说，欧氏几何中一般只能处理直线和圆。而现在有了坐标及函数的概念之后，直线可以用一次函数表示；圆可以用二次函数表示。二次函数不仅能够表示圆，还能表示椭圆、抛物线、双曲线等其他情形，甚至于用一个给定的方程式f（x，y）=0就可以表示任意平面曲线，这些都使欧氏几何学望尘莫及。如果论及三维空间的话，在解析化之后，还能用三维坐标（x，y，z）和它们的代数方程式，表示各种各样的空间曲线和奇形怪状的曲面。进一步谈到更高维的空间，欧几里得几何就难有用武之地了。

牛顿和莱布尼茨发明了微积分之后，基于解析几何和微积分发展起来的微分几何如虎添翼，使得那个时代的数学和物理都面目一新。像罗巴切夫斯基那样使用传统的公理方法来研究几何，显然要输人一筹。也许高斯早就认识到这点，因此他并不看重他少年时代对非欧几何所作的工作，他的兴趣早就转移到了对曲线和曲面的微分几何的研究。

微分几何的先行者中有欧拉、克莱洛、蒙日以及高斯等人。法国数学家亚历克西斯·克莱洛（Alexis Clairaut，1713—1763）^[22]是个名副其实的神童，他的父亲是位数学教授，克莱洛9岁开始读《几何原本》，13岁时就在法国科学院宣读他的数学论文。克莱洛对空间曲线进行了深入研究，第一次研究了空间曲线的曲率和挠率（当时被他称为“双重曲率”）。1731年，18岁的克莱洛发表了《关于双重曲率曲线的研究》一文，文中他公布了对空间曲线的研究成果，除了提出双重曲率之外，还认识到在一个垂直于曲线的切线的平面上可以有无数多条法线，同时给出了空间曲线的弧长公式。克莱洛并因此成为法国科学院有史以来最年轻的院士。蒙日（Gaspard Monge，1746—1818）也是法国数学家，他是画法几何学的创始人。

什么是曲线的曲率和挠率？我们从图2-2-1（a）中所示的3条平面曲线来认识曲率。那3条曲线，就像是3条形状不同的平地上的高速公路。

我们首先需要引进曲线的切线，或称为“切矢量”的概念，切矢量即为当曲线上两点无限接近时它们连线的极限位置所决定的那个矢量。图2-2-1（a）所示的公路上，所标示的所有箭头便是在曲线上各个点切矢量的直观图像。而曲率是什么呢？曲率表征曲线的弯曲程度。比如说，图2-2-1（a）中最上面一条公路是直线，直线不会拐弯，我们说它的弯曲程度为0，即曲率等于0。这个0曲率与切矢量的变化是有关系的。看看直线上的箭头就容易明白了：上面所有箭头方向都是一样的。也就是说，曲率为0（直线）就是意味着切矢量的方向不变，或切矢量的旋转速率等于0。再看看图2-2-1（a）中下面两条曲线，当弧长（汽车驶过的路程）增加时，这两条切矢量在不断地旋转，曲线也随之而弯曲，切矢量旋转得越快，曲线的弯曲程度也越大。所以，数学上就把曲率定义为曲线的切矢量对于弧长的旋转速度。

平地上弯弯曲曲的公路可以看作是平面曲线，用“曲率”就可以描述它们。如果公路是修建在山区中，它们一边转弯还要一边盘旋向上或者向下。这时候，汽车驶过的路径便已经不是平面曲线，而是空间曲线了。对于山间的公路，如图2-2-1（b）所示，我们除了可以看到其弯曲的程度之外，还能观察到公路往上（或者向下）绕行的快慢。如果用数学语言来表述的话，就是说对于空间曲线而言，除了仍然可以用曲率来描述其切线旋转的速度之外，还需要有另外一个几何量来描述这个曲线偏离平面曲线的程度，或者说是绕行时高度升高的快慢。我们将这个几何量叫做“挠率”。

可以在曲线的每一个点定义一个由3个矢量组成的三维标架，来描述三维空间中的曲线。首先考虑平面曲线，令曲线的切线方向为T，在曲线所在的平面上有一个与T垂直的方向N。如果对于圆周来说，N的方向沿着半径指向圆心。N被称为曲线在该点的“主法线方向”。在这条法线的前面加上了一个“主”字，是因为与切线T垂直的矢量不止一个，实际上它们有无穷多个，都可以称为曲线在该点的法线。这些法线构成一个平面，叫做通过该点的“法平面”。这所有的法线中，主法线是比较特别的一个。定义了切线T和主法线N之后，使用右手定则可以定义出三维空间中的另一个矢量B，B也是法线之一，称为“次法线”。对平面曲线而言，每个点的切矢量T和主法线N的方向都逐点变化，唯有次法线B的方向不变。次法线的方向永远是垂直于曲线所在平面的，因此，一条平面曲线上每个点的次法线都指向同一个方向，即指向与该平面垂直的方向。

对一般的空间曲线，情况有所不同。次法线的方向代表了与曲线“密切相贴”的那个平面，在一般三维曲线的情形下，这个密切相贴的平面逐点不一样，被称为曲线在这个点的“密切平面”。如图2-2-1（c）所示，对一般的三维曲线而言，在曲线上不同的点，三个标架T、N、B的方向都有所不同。每一点的次法线B的方向也会变化，不过它仍然与该点的密切平面垂直。

挠率被定义为次法线B的方向随弧长变化的速率，描述了曲线偏离平面曲线的程度。一条空间曲线的曲率和挠率在空间的变化规律完全决定了这条曲线。

用微积分的方法对曲线及曲面进行研究，除了欧拉、克莱洛等人的贡献之外，蒙日的工作举足轻重。蒙日对曲线和曲面在三维空间中的相关性质作了详细研究，并于1805年出版了第一本系统的微分几何教材《分析法在几何中的应用》，这部教材被数学界使用达40年之久。蒙日自己是个一流的数学教师，讲起课来像说书讲故事一样生动形象。他培养了一批优秀的数学人才，其中包括刘维尔、傅里叶、柯西等人，形成了所谓的“蒙日微分几何学派”。他们的特点是将微分几何与微分方程的研究紧密结合起来，因而在研究曲线和曲面微分几何的同时，也大大促进了微分方程理论的进展。

蒙日对曲面的微分几何性质进行了许多研究，特别是对直纹面进行了许多研究。直纹面是一类用特别方式产生的曲面。简单地说，如果我们将一把“尺”在空间中移动，就能产生出一个曲面来。这种由于“尺子”的移动，或者说由于“一条直线”的平滑移动而产生的曲面，便叫做“直纹面”。

一把尺子在空间移动的方式可以多种多样，这样就可以形成各种不同的直纹面。举例说，最简单的情形就是尺子平行地沿着直线移动，那就将形成一个平面；如果尺子平行地沿着圆圈移动，就将形成一个柱面；又如果尺子一端固定不动，另一端作圆周运动，将形成锥面。此外，还有很多别的形状的直纹面，如双曲面、切线面、螺旋面等。

当微分几何的研究范围从曲线扩大到曲面的时候，增加了一个本质上的全新概念：内蕴性。

解释内蕴性之前，先介绍一下与内蕴性紧密相关的可展曲面和不可展曲面。

图2-2-2的（a）和（b），分别列举了几个不可展曲面和可展曲面。从日常生活经验，很容易理解“可展”和“不可展”的含义。从图2-2-2（b）也可以看出，可展面就是可以展开成平面的那种曲面。比如，将图2-2-2（b）所示的锥面，用剪刀剪一条线直到顶点，就可以没有任何皱褶地平摊到桌子上。柱面也可以沿着与中心线平行的任何直线剪开，便成了一个平面（图2-2-3）。

图2-2-2（a）所列举的是不可展曲面，也就是不能展开成平面的曲面。也可以用与刚才反过来的过程来解释可展和不可展。你用一张平平的纸，很容易卷成一个圆筒（柱面），或者是做成一顶锥形的帽子，但你无法做出一个球面来。你顶多只能将这张纸剪成许多小纸片，粘成一个近似的球面。同样的道理，你也无法用一张纸做出如图2-2-2（a）所示的马鞍面的形状。由此可直观地看出可展面与不可展面的区别。

图2-2-2（b）中右边所示的切线面也是一种可展曲面。并且，数学上可以证明，可展曲面只有图2-2-2（b）中所示的柱面、锥面和切线面这三种直纹面。也就是说，可展曲面都是直纹面，但直纹面却不一定可展，比如图2-2-2（a）中图所示的双曲面（也叫马鞍面）就是一种不可展的直纹面。

球面不是直纹面，球面也是不可展的。一顶做成近似半个球面的帽子，无论如何你怎么剪裁它，都无法将它摊开成一个平面。

不可展是某些曲面的性质。曲线都是可展的，因为一条曲线无论弯曲成什么形状，都可以毫无困难地将它伸展成一条直线。