3．爬虫的几何

在上一节中画出的曲面，都是从三维空间看到的曲面形状。也就是将曲面嵌入到三维欧几里得空间中画出来的曲面形态。在介绍曲面的可展性之前，我们也说过曲面可能具有的某种内蕴性质。所谓“内蕴”，是相对于“外嵌”而言。指的是曲面（或曲线）不依赖于它在三维空间中嵌入方式的某些性质。也就是说，曲面可能具有某些内在的、本质的几何属性。

可以用如下比喻来解释“外嵌”和“内蕴”的区别：一个机械设计师，加工一个机械零件的球形表面，他是从他所在的三维欧几里得空间来看待和测量这个球面的，即使用外嵌的观察方式。但是，一个测地员在地球表面测量到的几何性质，则是内蕴的球面几何，见图2-3-1。

机械工程师的外嵌方式与我们日常生活中看待曲面的方式是一致的。因而，外嵌不难理解，但是对于内蕴的概念，就需要花点功夫去“设身处地”地体会体会了。

一个观察者在自己生活的物理空间中所能够观察和测量到的几何性质就是这个空间的内蕴性质。比如说，球面的内蕴性质就是生活在球面上的二维爬虫感受到的几何性质。我们人类当然是三维的生物，不是什么二维的爬虫。但是，因为地球很大，所以我们的三维尺寸比起地球来是很小的。因此，可以将我们设想成某种二维生物在地球上进行大范围内地表的测量，这样测量出来的几何，与我们平时在小范围中测量到的欧氏几何有所不同。如此测量到的内蕴几何性质有哪些呢？二维爬虫可以测量爬过的长度、两条线之间的角度、一条闭合线围成的区域的面积，等等。比如在图2-3-1（b）的例子中，测地员将会发现，他测量到三角形的内角和大于180°。

对曲线而言，“爬虫”只能是一维生物，想象一下它们在曲线上看到的几何，可以帮助我们更好地理解内蕴性。一条线可以在三维空间中看起来转弯抹角地任意弯曲，即随意改变它的曲率和挠率，但是生活在线上的“点状蚂蚁”却观察体会不到这些“弯来绕去”。它在曲线上不能知道周围空间的任何信息，它唯一能测量到的几何量只是它爬过的弧长。因此，蚂蚁在空间的曲线上爬，或者在空间的直线上爬，测量到的几何是一模一样的。即使它在我们外部看起来非常弯曲的线上爬，它也感觉不出它的世界与直线有任何的不同。

所以，就曲线而言，没有什么与“外嵌”不同的“内蕴”几何。所有曲线的内蕴性质都是一样的，也都和直线内蕴性质一样，因为它们只有一个内蕴几何量：弧长。读者可能会问：你前面介绍的空间曲线的曲率和挠率，又是什么性质呢？那是从三维空间观察这条曲线时得到的“外在”几何特性，但却并不是内蕴几何量，对曲线来说，只有弧长才是内蕴的。

曲线没有内蕴几何，曲线都是可展的。由此可知，内蕴几何性质与可展性有关，对曲面来说也是如此。所以，现在我们要研究一下曲面上的爬虫会看到一些什么样的几何？

让我们遵循笛卡儿的思想，不要随便相信我们的感官。在判定曲面的内蕴性质时，需要一些数学概念来进行一点理性的分析。对空间曲线，我们定义过“外在”的曲率和挠率，但对于嵌入三维空间的球面，我们还没有定义过类似的“外在”几何量。

如何描述三维空间中曲面的弯曲情况？首先，我们可以将曲线中曲率的定义推广到曲面上。

通过曲面上的一个给定点G，可以画出无限多条曲面上的曲线，因而可以作无限多条切线。可以证明，这些切线都在同一个平面上，这个平面被称为曲面在这点的“切平面”，通过该点与切平面垂直的直线叫做曲面在这点的“法线”。

现在，我们通过法线可以作出无限多个平面，这每一个平面都与曲面相交于一条平面曲线C，并且，可以定义平面曲线C在G点的曲率，如图2-3-2（a）所示，曲线C₁、C₂…在G点的曲率分别为Q₁、Q₂…。

在所有的这些曲率（Q₁、Q₂…）中，找出最小值Q₁和最大值Q₂，把它们叫做曲面在点G的“主曲率”。对应于主曲率的两条切线方向总是互相垂直的。这是大数学家欧拉在1760年得到的一个结论，称为曲面的两个“主方向”。从图2-3-2（b）和图2-3-2（c）可以看到，曲面上给定点的两个主曲率可正可负也可为0。当曲线转向与平面给定法向量相同方向时，曲率取正值，否则取负值。

空间曲线的曲率和挠率并不是内蕴的。对曲面来说，欧拉定义了两个主曲率，将这两个主曲率相加再除以2，可以定义“平均曲率”。然而人们发现，主曲率和平均曲率都不是内蕴几何量。

蒙日虽然分析、研究了很多种类的曲面，但他并没有考虑这些曲面的内蕴性质。也就是说，他并没有把曲面看作一个独立于外界环境而存在的几何对象来研究。第一个将曲面独立于它所嵌入的三维空间来看待的人是高斯。高斯从曲面的可展、不可展性质联想到它们的内蕴性。虽然主曲率和平均曲率不是内蕴的，但高斯从几何直观感觉到，应该存在某种“内蕴曲率”。最后，高斯证明了“高斯曲率”，即两个主曲率的乘积，代表曲面的一种内蕴性质。

曲面有可展（成平面）与不可展之分。一个球面是不可展的，因为你不可能将它铺成一个平面，而柱面可展，它具有与平面完全相同的内在几何性质。可展性反映了曲面某种内在的性质。如果有一种生活在柱面上的生物的话，它会觉得与生活在平面上是一模一样的，但球面生物就能感觉到几何上的差异。比如说，柱面生物在它的柱面世界中画一个三角形，将三角形的三个角加起来，结论与平面生物得到的一致，会等于180°。而球面生物在它的世界中画一个三角形，它将会发现三角形的三个角加起来要大于180°。

高斯意识到，弧长是曲面最重要的内蕴几何量。只要在足够小的范围内，构造了计算弧长微分的公式（高斯将它称之为曲面的第一基本表达式），便可以得到角度、面积等其他内蕴量，建立起曲面的内蕴几何。

1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》一文，研究曲面情形之下能够独立发展的几何性质^[23]。高斯将他的结论命名为“绝妙定理”，其绝妙之处就是在于它提出并在数学上证明了内蕴几何这个几何史上全新的概念。它说明曲面并不仅仅是嵌入三维欧氏空间中的一个子图形，曲面本身就是一个空间，这个空间有它自身内在的几何学，独立于外界的三维空间而存在。这篇论文建立了曲面的内在几何，使微分几何自此成了一门独立的学科。