3.3 信道特性及其数学模型

前面介绍了恒参信道和随参信道的实例，下面讨论它们的传输特性对信号传输的影响，另外，信道中都存在加性噪声，它同样会对信号传输产生影响。在本教材中除非特别说明，所考虑的加性噪声与信号相互独立，并且始终存在，其瞬时取值服从高斯分布，均值为零。

3.3.1 恒参信道特性及其数学模型

恒参信道对信号传输的影响是确定的或者是变化极其缓慢的。因此，可以认为它等效于一个非时变的线性网络。从理论上来说，只要知道网络的传输特性，则利用信号通过线性系统的分析方法，就可求得信号通过恒参信道的变化规律。

线性网络的传输特性可以用幅度-频率特性（简称幅频特性）和相位-频率特性（简称相频特性）来表征。本小节首先讨论理想情况下恒参信道的幅频特性和相频特性，然后分别讨论实际幅频特性和相频特性对信号传输的影响，最后给出具有加性高斯噪声的恒参信道数学模型。

1.理想恒参信道特性

下面研究什么样的信道能保证信号无失真地通过。所谓无失真，就是要求信道的输出信号是输入信号的精确复制品。设输入信号为s_i（t），则无失真传输时，要求信道的输出信号

式中，K₀为传输系数，它可以表示放大或衰减一个固定值；t_d为时间延迟，表示输出信号滞后输入信号一个固定的时间。对式（3-12）进行傅里叶变换得

由式（3-13）得信道的传输函数为

信道的幅频特性和相频特性分别定义为（注：一般情况下，相频特性为φ（ω）=-t_dω）

由此可见，无失真传输的条件是：信道的幅频特性在全频率范围内是一条水平线，高度为K₀；信道的相频特性在全频范围内是一条通过原点的直线，直线的斜率为t_d。

若信号的角频率严格限制在-ω_H～ω_H范围内，则无失真传输的条件只要在区间（-ω_H，ω_H）内满足即可。任何一个物理信号，它的频谱往往是很宽的，因而，严格地讲，无失真的信道也需要很宽的频带。在实际通信工程中，总是要求信道在信号的有限带宽之内尽量满足无失真传输条件，毫无疑问，此时实质上是有失真传输，不过，这种失真是控制在允许的范围内罢了。

信道的相频特性通常还采用群迟延-频率特性来衡量。所谓的群迟延-频率特性就是相频特性的导数。理想恒参信道的群迟延-频率特性可以表示为

理想信道的幅频特性、相频特性和群迟延-频率特性曲线如图3-11所示。由式（3-14）得，理想恒参信道的冲激响应为

图3-11 理想信道的幅频特性、相频特性和群迟延-频率特性

2.幅度-频率失真

幅度-频率失真是由实际信道的幅频特性的不理想所引起的，这种失真又称为频率失真，属于线性失真。图3-12a所示是CCITT M.1020建议规定典型音频电话信道的幅度衰减特性。由图可见，衰减幅度在300～3000Hz频率范围内比较平坦；300Hz以下和3000Hz以上衰耗增加很快，这种衰减特性正好适应人类话音信号传输。

信道的幅频特性不理想会使通过它的信号波形产生失真。如图3-13a所示是原始信号，它由基波和三次谐波组成，其幅度比为2∶1。若它们经过不同的衰减到达输出端，基波和三次谐波的幅度比为1∶1，则合成信号（见图3-13b）的波形与原始信号的波形有了明显的差别。若在这种信道中传输数字信号，则会引起相邻数字信号波形之间在时间上的相互重叠，造成码间干扰。因此，在电话信道中传输数字信号时，需要采用均衡器对信道特性进行补偿（有关均衡原理将在第5章介绍）。

图3-12 典型音频电话信道的幅频特性、相频特性和群迟延频率特性

a）幅频特性 b）相频特性 c）群迟延频率特性

图3-13 幅频失真和相频失真的例子

a）原始信号 b）幅频失真 c）相频失真

3.相位-频率失真

当信道的相频特性偏离线性关系时，会使通过信道的信号产生相位-频率失真，相位-频率失真也属于线性失真。图3-12b、c分别给出了一个典型的电话信道的相频特性和群迟延频率特性（图中虚线为理想特性），可以看出，相频特性和群迟延频率特性都偏离了理想特性的要求，因此会使信号产生严重的相频失真或群迟延失真。如图3-13c是图3-13a原始信号中基波经过π相移，三次谐波分量经过2π相移到达输出端合成的输出信号。由于原始信号中的不同谐波经过信道后的延时不同，所以输出信号（见图3-13c）的波形与原始信号的波形有了明显的差别。在话音传输中，由于人耳对相频失真不太敏感，因此相频失真对模拟话音传输影响不明显。如果传输数字信号，相频失真同样会引起码间干扰，特别当传输速率较高时，相频失真会引起严重的码间干扰，使误码率性能降低。由于相频失真也是线性失真，因此同样可以采用均衡器对相频特性进行补偿，改善信道传输条件。

4.具有加性（高斯）噪声的恒参信道数学模型

（1）加性噪声信道

通信信道最简单的数学模型就是加性噪声信道，如图3-14所示，该信道的输入输出关系为

式中，α是信道的衰减因子，为常数；s（t）是信道的输入信号；n（t）是噪声，一般认为它是由接收机中的电子元件和放大器引入的，它是一个高斯随机过程^[2]。

图3-14 加性噪声信道

（2）具有加性噪声的线性滤波信道

一般的恒参信道可以看成是带宽有限的线性时不变信道，可以由图3-15所示的具有加性噪声的线性滤波信道的数学模型表述，信道的输出可以表示为

式中，h（t）是信道的冲激响应，是一个线性滤波器；s（t）是信道的输入信号；n（t）是加性噪声；符号∗表示卷积运算。

图3-15 线性滤波信道

3.3.2 随参信道特性及其数学模型

前面给出了陆地移动信道和短波电离层反射信道这两种典型随参信道的实例，这些随参信道的传输媒质具有以下三个共同特点：

1）对信号的衰耗随时间随机变化。

2）信号传输的时延随时间随机变化。

3）多径传播。

由于随参信道比恒参信道复杂得多，它对信号传输的影响也比恒参信道严重得多。下面将从两个方面进行讨论，最后给出具有加性高斯噪声的随参信道数学模型。

1.多径衰落与频率弥散

陆地移动多径传播示意图如图3-7所示。基站天线发射的信号经过多条不同的路径到达移动台。假设发送信号为单一频率正弦波，即

多径信道一共有n条路径，各条路径具有时变衰耗和时变传输时延且从各条路径到达接收端的信号相互独立，则接收端接收到的合成波为

式中，a_i（t）为从第i条路径到达接收端的信号振幅；τ_i（t）为第i条路径的传输时延。传输时延可以转换为相位的形式，即

式中

为从第i条路径到达接收端的信号的随机相位。

式（3-21）可变换为

式中

由于X（t）和Y（t）都是相互独立的随机变量之和，根据概率论中心极限定理，大量独立随机变量之和的分布趋于正态分布。因此，当n足够大时，X（t）和Y（t）都趋于正态分布。通常情况下X（t）和Y（t）的均值为零，方差相等，其一维概率密度函数为

且有σ_x=σ_y。

式（3-23）也可以表示为包络和相位的形式，即

式中

由第2章随机信号分析理论可知，包络V（t）的一维分布服从瑞利分布，相位φ（t）的一维分布服从均匀分布，可表示为

且有σ_x=σ_y=σ_v=σ。

对于陆地移动信道、短波电离层反射信道等随参信道，其路径幅度α_i（t）和相位函数φ_i（t）虽然随时间变化，但与发射信号载波频率相比要缓慢得多。因此，相对于载波来说V（t）和φ（t）是慢变化随机过程，于是r（t）可以看成是一个窄带随机过程。由2.5.2小节窄带高斯随机过程分析可知，r（t）的包络服从瑞利分布，r（t）是一种衰落信号，r（t）的频谱是中心在f_c的窄带谱，如图2-8所示。由此可以得到以下两个结论：

1）多径传播使单一频率的正弦信号变成了包络和相位受调制的窄带信号，这种信号称为衰落信号，即多径传播使信号产生瑞利型衰落。

2）从频谱上看，多径传播使单一谱线变成了窄带频谱，即多径传播引起了频率弥散。当在多径信道中传输数字信号时，信号衰落会引起突发错误，对通信造成严重的危害。在数字通信中，通常采用交织编译码技术（参见第9章）来减轻这种危害。

二维码3-1

2.频率选择性衰落与相关带宽

当发送信号是具有一定频带宽度的信号时，多径传播除了会使信号产生瑞利型衰落之外，还会产生频率选择性衰落。频率选择性衰落是多径传播的又一重要特征。

为了分析方便，假设多径传播的路径只有两条，如图3-16所示。其中，k为两条路径的衰减系数，Δτ（t）为两条路径信号传输的相对时延差。

图3-16 多径传播的路径有两条的信道模型

当信道输入信号为s_i（t）时，输出信号为

其频域表达式为

信道传输函数为

信道幅频特性为

对于固定的Δτ，信道幅频特性如图3-17a所示。对于信号不同的频率成分，信道将有不同的衰减。显然，信号通过这种传输特性的信道时，信号的频谱将产生失真。当失真随时间随机变化时，就会形成频率选择性衰落。特别是当信号的频谱宽于1/Δτ（t）时，有些频率分量会被信道衰减到零，造成严重的频率选择性衰落。

另外，相对时延差Δτ（t）通常是时变参量，故传输特性中零点、极点在频率轴上的位置也随时间随机变化，这使传输特性变得更复杂，其特性如图3-17b所示。

图3-17 信道幅频特性

对于一般的实际多径传播，信道的传输特性将比两条路径信道传输特性复杂得多，但同样存在频率选择性衰落现象。多径传播时的相对时延差通常用最大多径时延差来表征。设信道最大多径时延差为Δτ_m，则定义多径传播信道的相关带宽为

它表示信道传输特性相邻两个零点之间的频率间隔。如果信号的频谱比相关带宽宽，则将产生严重的频率选择性衰落。为了减小频率选择性衰落，就应使信号的频谱小于相关带宽。在工程设计中，为了保证接收信号质量，通常选择信号带宽为相关带宽的1/5～1/3。

当在多径信道中传输数字信号时，特别是传输高速数字信号时，频率选择性衰落将会引起严重的码间干扰。为了减小码间干扰的影响，就必须限制数字信号传输速率。

二维码3-2

3.时变线性滤波信道模型

为了设计分析方便，常常把具有加性高斯噪声的随参信道（陆地移动信道和短波信道等），表示成图3-18所示的形式，即时变线性滤波信道，信道中具有加性高斯噪声，信道的输入输出关系为

式中，信道中的滤波器是用时变冲激响应h（τ；t）来刻画的，h（τ；t）是信道在时刻t-τ施加冲激在时间t的响应，自变量τ表示“年龄”（age）^[2]；s（t）是信道的输入信号；n（t）是加性噪声；r（t）是信道的输出信号；符号∗表示卷积运算。

图3-18 时变线性滤波信道

3.3.3 广义信道

根据研究目的需要引出广义信道的概念。例如有调制信道和编码信道。所谓调制信道是指图3-19中调制器输出端到解调器输入端的部分。从调制和解调的角度来看，调制器输出端到解调器输入端的所有变换装置及其传输媒质，不论其过程如何，都只是对已调信号进行某种变换。我们只关心变换的最终结果，而无须关心其详细物理过程。因此，研究调制和解调时，采用这种定义是方便的。

同理，在数字通信系统中，如果仅着眼于讨论编码和译码，采用编码信道的概念是十分有益的。所谓编码信道是指图3-19中编码器输出端到译码器输入端的部分。这样定义是因为从编译码的角度来看，编码器的输出是某一数字序列，而译码器的输入同样也是某一数字序列，它们可能是不同的数字序列。因此，从编码器输出端到译码器输入端，可以用一个数字序列变换的方框来加以概括。图3-19为调制信道与编码信道的示意图。当然，根据研究对象和关心的问题不同，也可以定义其他范畴的广义信道。

图3-19 调制信道与编码信道