作正多边形

有很多非数学的理由需要我们作正多边形，或者说把圆等分（图 1.6）。工匠和艺术家需要这种技巧来制作钟表、星盘、辐条轮、（能判别基本方位的）指南针、装饰性的瓷砖、花卉还有齿轮等。

图 1.6　作正 边形等价于把圆 等分

古希腊人知道好几种正多边形的尺规作法。《几何原本》中的第一个命题就给出了作等边三角形的方法。前文中展示了作正方形的方法。作正五边形要比这两者难得多，但对于新手几何学家来说仍然算得上简单。正六边形则很容易画出。那么我们自然会问：尺规是否可以作出所有正多边形呢？

欧几里得的等边三角形作法和我们的正方形作法都从多边形的一条边开始，而在作图过程中，我们会画出剩余部分。作正多边形问题过去也被称作割圆术或者分圆问题。我们在这里会用一种略微不同的方法表述它。我们从一个圆开始，然后让正多边形内接于圆。事实证明，如果我们能作正多边形，就能让它内接于任意已知圆。这样，这一问题也就等价于作任意大小的正多边形了。

作正多边形：对任意满足 的整数 ，用尺规作已知圆的内接正 边形。

我们可以作正三、四、五以及六边形，但是不能作正七边形。那正八边形呢？没问题。正九边形？不可以。正十、十二、十五和十六边形呢？可以。正十一、十三和十四边形呢？不行。

现如今，我们有定义良好的、可用于检测的标准来判断正 边形是否可作图。但是，我们必须分别验证每个 。随着 增大，检测难度也越来越高。截止到 2018 年，我们已经知道 （这个数有超过 25 亿个数位）以内的正 边形是否可作图。对于这一特别的正 边形，它是否可作图取决于 是不是质数：如果 是质数，那么正 边形就可作图；否则，它无法作图。有趣的是，作正多边形问题就这样成了唯一尚未解决的古典问题。我们还不能总结出一份完整的可作图正多边形的列表。

作正 边形问题就像化圆为方和倍立方问题一样，可以归结到作特定长度的线段。如果已知单位圆（半径为 1 的圆），当且仅当可以作长为 的线段时，我们才能作出内接正 边形。

原因如下。设 为单位圆的圆心， 为圆上一点（图 1.7）。假设点 在 上，且 长度为 。过 作 的垂线，并交圆于 。因为 是圆的半径，所以它的长度为 1。根据初等三角学知识，。因此弧 是圆周的 。那么弦 就是正 边形的一条边。有了一条边之后，我们就可以作出其他所有的边。此外，这些步骤是可逆的。如果我们能作出一个正 边形，就能作一条长为 的线段。这只需要像图 1.7 所示那样，过 作一条 的垂线即可。

图 1.7　作正 边形等价于作长为 的线段