3 思路
命题人如何设计证明题思考路线？
咱们单独用一节内容谈谈高考数学当中的“证明题”。
“证明题”是高考数学试卷中得分率最不可控的题目类型，当读完一道计算题完全没有思路时，很多同学会默写一些相关公式，把题目中的数据胡乱组合运算一番，本着“没思路就先写两步”的心态，想着至少不要出现空白答题卡，说不准自己写对了哪些步骤，还能白得一个过程分。
这的确是一个可行的方法，但毕竟靠的只是“瞎蒙”，分数始终难有保障。我们会在下一章讲讲阅卷人关注的核心采分点，告诉你在遇到不会做的计算题时，怎样做还能保留一些卷面分。
但是假如一道证明题你没有思路，那么这道题大概率只能空白。一道大题只有0分和满分，没有中间的选项。
而所谓的“有解题思路”又往往只是一瞬间的事情，有时候一道题你一时没思路，就会一直没思路，直至考试结束走出考场，在进入洗手间的那一刻才恍然大悟，感觉被自己空着没写的那道题真是太简单了，作个辅助线就行！
你一定能回忆起很多这样的事。
如果这样的事情真的经常发生在你身上，那只能说明：你太不了解命题人了。
辅助线的设计
立体几何中的线面空间位置关系是高考数学中的常规必考考点。以全国卷为例，每年全国卷都会有一道大题的第一问涉及三维空间内线面位置关系证明，而我们知道，大部分情况下，这类题目都需要借助辅助线才能得证成立。
作一条辅助线，其实就是一种构造性的证明，你需要构造一个目前尚不存在的东西来帮助自己完成证明。
就大部分题目而言，当你毫无思路时，如果有人告诉你如何作一条合适的辅助线，那么这道题目的难度会瞬间下降两个等级。
那么命题人为什么不把辅助线直接给你画上去，而非要你自己手动补全呢？
有的同学会说：“这还不明白？他就是想要为难我呗。”
事实是：命题人没有这个意图，命题人并不希望自己的题目谁也做不出来，那样的题目没有区分度。对命题人而言，最理想的题目设计应该是让那些对知识框架有深入了解的学生能找到这条辅助线，而那些一头雾水、半懂不懂的学生则找不到这条线。
所以，上面那个问题的进阶版本是：命题人擦掉了图像中的一条关键直线，他如何保证你还能找到它呢？
答案是：这些辅助线经过了精心的设计，而且有迹可循。
空间线面关系的互证体系
简单来说，在立体几何涉及空间线面位置关系的证明中，空间的线面位置关系总共有六类：
所有的证明思路都出现在这六类关系之间，而《高考大纲》非常清楚地罗列了这六类位置关系之间所有的推证路径：
2.点、直线、平面之间的位置关系
（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
理解以下判定定理。
· 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
· 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。
· 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
· 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。
理解以下性质定理，并能够证明。
· 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。
· 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。
· 垂直于同一个平面的两条直线平行。
· 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。
请注意这个文本，我们主要关心有关“定理”的部分，其中总共罗列了8条定理，我们以第一条为例：
· 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
这句话的实际意思是：如果有一道题让我们求证线面平行，那么我们可以通过线线平行证明。
方法是：在这个平面里作一条辅助线，使该辅助线与原来的直线平行。
所以我们可以在前面的那张导图里作一条连线：
类似地，我们可以分析第二条：
· 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。
这句话的真实意思是：如果有一道题让我们求证面面平行，那么我们可以通过线面平行证明，方法是在一个平面里作两条相交辅助线，使这两条线跟第二个平面都平行。
然后我们的导图里会再多一条连线：
如果用这种方法把考纲中的8条定理全部画在图上，你会得到下面这张图：
这张图带给我们的最大启发是：空间图像位置关系的证明并不是天马行空的，我们可选的路径其实非常有限，能抵达这个结论的途径也屈指可数。
当你参悟了这一点之后，你在每一条路径上能使用的辅助线，几乎是板上钉钉的存在。
一道真题
让我们来看一道真题，这道题来自2018年全国2卷，文科的第19题和理科的第20题都设计了这个问题：
如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=
，PA=PB=PC=AC=44，O为AC的中点，求证：PO ⊥平面ABC。
这道题目要我们求证直线PO与平面ABC垂直，在我们前面总结的导图里有两条路径可以抵达“线面垂直”，分别是“面面垂直”和“线线垂直”，现在我们的第一个问题是：应该选哪条呢？
答案是：这道题目就没有“面面垂直”的条件，所以你应该选择“线线垂直”，而接下来按照定理的要求，你要做的是在平面ABC里找到两条和OP垂直的相交直线。
再来看这道题目给定的条件：PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=，以及O为AC的中点——长度相等的交线可以构成等腰三角形的腰，而等腰三角形底边的中线就是它的高，这是一组明确的线线垂直关系。
在PA=PC这组关系里，我们可以知道在三角形PAC中，PO⊥AC；那么，AB=BC这组关系可以告诉我们什么呢？
答案是：在三角形ABC中，BO AC。
所以，这道题目最关键的辅助线在于BO，如果你做出了这条线，那么你很容易就可以计算出这个图上每一条线段的长度，并且发现|OB|2+|OP|2=|PB|2。也就是说，你的这条辅助线其实也垂直于OP。
这样一来，你在平面ABC里就找到了两条与OP垂直的交线：AC和OB，也就完成了这个题目的证明。
你看，这条辅助线出现得恰到好处，跟灵感毫无关系——按照考纲的规则，这个位置就“应该”有一条辅助线。
这条辅助线就是命题人刻意为你设计的桥。
大多数同学总认为命题人希望把解题的思路隐藏得无迹可寻，难倒所有考生。但实际情况是，命题人并不能无所顾忌地行动，他们无一例外地受到《高考大纲》的约束，而考纲给命题人的考查目标是清晰明确的。
命题人的全部任务，就是按照考纲的要求，设计一套合理的试卷，其中的每一道题目所涉及的思路和决策都要尽可能地包含考纲规定的目标。
他们会恰到好处地在题目中为你布下路标和指示牌，并希望你能识别这些痕迹，走上他们设计的这条路径，最终实现考纲要求的目标。