5.4　弦的背景场

5.4.1　背景时空度规引论

直到现在，我们已经讨论了平直26-维闵氏空间中弦的传播，作用量为

式中，是世界片度规，可视作动力学变量；是闵氏度规。这里我们不考虑弦在平直闵氏空间中的传播，而考虑弦在更一般的具有度规张量gμν的26-维流形Μ中的传播。式（5.4.1）的明显推广就是用度规gμν取代闵氏度规，即

式（5.4.2）是式（5.4.1）的自然推广，表示26-维时空中弦的作用量。有人认为不需要导出式（5.4.1），但是对下面的问题式（5.4.1）具有启发性。假设时空度规是

式中，表示该时空与闵氏空间的偏差。由式（5.4.1）导出的世界片的路径积分是

而由式（5.4.2）导出的结果是

式中，

是波函数为的引力子发射的顶点算符V。我们通常考虑的引力子波函数是平面波的波函数，即，但是没有理由认为其不是叠加的平面波。在式（5.4.4）中插入顶点算符V将适应弦与外部引力子波函数的相互作用，并且精确对应于弦在度规中的传播。

现在讨论式（5.4.2）的某些简单性质。式（5.4.1）和式（5.4.2）都是两维量子场理论，但是二者有本质的区别。式（5.4.1）在共形规范

中变成自由场理论，而式（5.4.2）则不然，它在该规范中简化为

这是式（5.4.2）在共形规范中的作用量，是非平凡量子场理论，称为非线性西格玛模。我们恢复了对的依赖，以前的公式对应于通常的选择，即=1/2。

当然，正如弦在平直闵氏空间中传播，式（5.4.8）必须由维拉宿条件

补充，式（5.4.9）与规范选择式（5.4.7）共轭。在形式上，在σ的重新标度或者共形映射下式（5.4.8）不变，所以在经典水平上有

恰如弦在平直空间中的传播。式（5.4.10）保留了两组维拉宿条件，即

这些条件在临界维中足以消除负-正则模而给我们留下了具有物理意义的思考。若式（5.4.10）中存在异常，则式（5.4.11）不得不增补额外的维拉宿条件。这个条件在平直空间中没有对应的公式，一定会导致不自洽。在闵氏空间中，式（5.4.8）简化了自由场理论，我们已经发现在T+-=0中可以存在异常，如果世界片是弯曲的。这个异常出现在26-维时空中，具有T+-～R(2)的形式，R(2)是世界片的标量曲率。这是一种相对温和的异常。若式（5.4.8）是给定几何条件的世界片上的公式，则R(2)是世界片坐标σ和τ的c-数的函数。在时，用式（5.4.8）描述相互作用的非线性理论，将在T+-中遇到更强烈的q-数异常。

5.4.2　外尔不变量

根据的形式，式（5.4.8）中的尺度不变性崩溃，因为不存在既能规范式（5.4.8）又能保留共形不变性的方法。泡利-维拉斯正则化当然会违反尺度不变性。式（5.4.8）能够通过维度的正则化实现规范化，但这违反了尺度不变性，因为式（5.4.8）仅在两维中尺度不变。

在量子场理论中，尺度不变性的崩溃通常由贝塔函数描述。依赖于贝塔函数定义中使用的形式体系，非零贝塔函数产生于费曼图中的紫外发散。在弦理论中，基本问题不是贝塔函数和紫外发散，而是在弯曲空间中式（5.4.8）是不是外尔不变量。外尔不变量意指整体尺度不变性，反过来又指贝塔函数的消失和紫外收敛。历史上，Callan-Symanzik方程曾通过与能量-动量张量相关联的瓦德恒等式推导出来，换言之，瓦德恒等式与外尔变换相联系。

两种计算，即有限性和外尔不变量本质上是等价的。我们将看到，在弯曲的世界片上要求外尔不变性必然意味着重新正则化群贝塔函数的消失及由此带来的有限性。

首先讨论展开式参数在单圈计算中是什么。式（5.4.8）表明在很小的的极限中，作用量巨大，量子修正很小。量子微扰理论是一个幂为的展开式。重新标度式（5.4.8）中的时空度规，即将式（5.4.8）中的代之以

表明大t等价于小。因为流形M上的所有长度在式（5.4.12）变换下都被因子t重新标度，大t被限制，其中M的尺寸在的单位中非常大。无量纲展开式参数是，其中r是特征长度或者M的“半径”。选择一种新的规范

外尔对称性的可能破缺需要正则化，这通过在(2+ε)-维时空中的工作可以实现。将式（5.4.13）代入式（5.4.2），有

我们将调查ϕ依赖在极限ε→0时是否消失的问题。在这个过程中，我们将看到该条件与紫外有限的条件相联系。

如同量子场理论对式（5.4.8）式的处理，其中的量子场为Xμ(σ,τ)，第一步是挑选真空期望值，记作，并且围绕该值展开量子场，得

式中，xμ是量子涨落。在这种背景场方法的更一般的应用中，经典背景取作任意σ和τ的任意函数，σ和τ满足经典场方程而不是我们选择的常数解。我们将以Xμ=为展开中心展开度规。若式（5.4.8）是一个“几何”展开，在场变量

重新定义下的不变量伴随着合适的时空度规张量的变换，则上述展开容易处理并且实用。如果需要的话，重新定义这样的场变量，我们可以假定在时空流形M上坐标Xμ是在点的局域惯性坐标。这一变换的雅可比不影响后面的结果。在这类坐标中，有一个展开式：

式中，是时空流形M在点处的黎曼张量。用场变量的这一选择及展开式eεφ=1+εφ+…进行整理，式（5.4.14）取形式

如图5.7（a）所示，在核查有效作用量的外尔不变量的过程中，也存在着形如图5.7（b）的贡献，其中“×”表示把一个带有系数εφ的动力学项插入。

显然，将式（5.4.18）与式（5.4.14）进行比较，积分符号前面的“-1/2π”和积分变量没变，被积函数中的。的幂展开式等价于式（5.4.18）中x的幂展开式。例如，M的曲率张量具有1/r2阶，于是最低阶计数项恰由收缩两个得到，出现在式（5.4.18）的x的四次项中。有关费曼图如图5.7（a）所示。在维度正则化中，极点仅产生于对数发散积分。收缩式<>给出了对数发散积分，而收缩式<>给出了二次发散积分，它在一维正则化中被丢弃。这类二次发散积分具有物理意义。内积等于一个二次发散积分，即

因此，在式（5.4.18）的定义中，存在单圈有效作用量的极点。和引起的非零贝塔函数一样，这类极点能导致在极限→0时幸存的依赖。例如，矩阵元的生成子为

由式（5.4.18）推导出来的单圈有效作用量中的极点，可能导致φ依赖关系在→0时幸存下来。式（5.4.20）就是一个例子。当→0有一个极点时，极点来自式（5.4.19）的<>收缩，当→0时有

式中，是M流形的里奇张量，用的黎曼张量来定义。将式（5.4.21）代入式（5.4.18），给出一个有限的依赖项，在→0时有

然而当极限ε→0时在单圈有效作用量中，式（5.4.18）中的动力学项也会产生其他的ϕ依赖项。例如，对x的二次方的有效作用量存在另一个单圈贡献，如图5.7（b）所示。由于1/ε极点恰好抵消，随着ε因子在ϕ依赖动力学项中的插入，再次导致了有限的ϕ依赖。图5.7中两项贡献之和的ϕ依赖项消失。

分部积分之后，这些项导致非重整化有效作用量的净ϕ依赖，而这种有效作用量再次正比于式（5.4.22）。为了得到正确的ε→0时的极限，我们仍需要重整化ϕ依赖的ε极点项。这样的极点项在图5.7（a）的一个单圈中产生，但是具有4个外部的场。后者有助于在式（5.4.18）中对耦合的重整化。这是非线性西格玛模型的重要特征：这两个无穷大可以被吸收到波函数的重整化

以及时空度规的重整化

中。将式（5.4.23）、式（5.4.24）代入式（5.4.18），以恢复由于ε因子的取消具有系数εφ的项。此外，应该增加局域计算项以消除任何产生于单圈的引力异常。计算这样的异常，要考虑对<hμνhρσ>的单圈修正。它们产生了背景独立的项，这些项在26-维时空中被幽灵的贡献抵消。综合所有ϕ依赖项的贡献，给出一个有效作用量，当D=26时有

式中，Xμ由式（5.4.23）给出。当

时，达到这个阶数，式（5.4.24）会导致一个ϕ独立的外尔不变的量子理论。式（5.4.24）中度规的重整化意味着，存在一个由式（5.4.27）给出的单圈贝塔函数：

我们知道，在具有n个耦合常数的理论中，存在n个贝塔函数，它们互相耦合。类似地，在存在耦合函数的理论（该理论是一个连续的无限数目的耦合）中存在一个依赖于相同自由度的贝塔函数。由式（5.4.27）可知，单圈贝塔函数消失的条件或者等价条件为。所谓等价条件，是指有效作用量中单圈ϕ依赖项，即式（5.4.23）和式（5.4.24）消失的条件。这与外尔不变量的有效作用量条件相同。这两种阐述由下列事实相联系：贝塔函数是能量-动量张量之迹。

5.4.3　共形不变量和运动方程

我们发现的方程，即是大家熟悉的爱因斯坦真空场方程。以这种方式产生的爱因斯坦场方程仅是意外吗？

一方面，在研究物理理论时，我们有资格强加的唯一方程是运动方程，在量子水平上为最小量子有效势方程。另一方面，如果式（5.4.2）在弦理论中有意义，则要求外尔为不变量或者贝塔函数消失。贝塔函数消失的条件一定是弦理论需要的，该条件必须与运动方程一致，如果它具有任何合理的物理解释。因此，在事后看来，我们可以松一口气了，式（5.4.26）为最低阶贝塔函数的消失提供了合理的解释，解释为对引力场的运动方程的长波近似。若弦理论是有物理意义的，则式（5.4.26）必须如此解释。

贝塔函数及外尔不变性的崩溃，是我们已经计算过的，其仅取决于量子场［式（5.4.2）］的短距离行为。同样的短距离行为发生在任何拓扑的黎曼面上。当外尔不变量约束式（5.4.2）时，我们能够在黎曼面上计算来自式（5.4.2）的路径积分，这对应于树图或者弦理论的经典近似，也可以在更高的属面上，对应于量子修正。这建议，式（5.4.2）的外尔不变量可以解释为寻找弦理论经典解的条件（外尔不变的黎曼面上的路径积分），从这里出发我们扩展到计算量子修正。

现在我们尝试更直接地证明式（5.4.2）的外尔不变性对应于寻找经典解。考虑具有场的任一物理理论。我们通过选择真空期望值

并且写出：

在摄动理论中来描述真空态。式中，是量子涨落。所以人们计算之积的真空期望值，以描述散射振幅：

在弦理论中，存在顶点算符对应于每个场。这些算符的性质已经在第1章和第4章中讨论过。在弦理论中，式（5.4.30）类于：

尽管试（5.4.30）和式（5.4.31）的形式相似，但是它们之间存在着明显的区别：式（5.4.30）的期望值是在时空中计算的，而式（5.4.31）的期望值是在弦世界片上计算的。

对于n≥4，式（5.4.30）和式（5.4.31）都描述散射振幅；对于n=3，它们都描述顶点修正；对于n=2，它们都描述质量转移。那么当n=1时呢？在场理论中，期望值An对于n=1具有基本的重要性。它的消失，即

是候选的真空态。以真空态为展开中心，量子场的期望值是经典场方程的一个解，或者说是量子水平上有效势的极值。式（5.4.30）和式（5.4.31）的对比表明，对应的陈述必须采用弦理论。弦理论中经典解的条件（或量子水平上有效势的极值）必须是

<V>=0

（5.4.33）

式中，V是对应于任何物态的顶点算符。

现在我们试图解释，为什么爱因斯坦场方程会出现在式（5.4.26）中，为什么世界片共形不变性联系着运动方程。特别是，我们将证明，在弦理论中的树水平上式（5.4.33）是世界片共形不变的一个结果。想法是非常简单的。例如，考虑闭弦，经典水平上的世界片是一个球，它能被立体地投影到x-y平面上。在评估式（5.4.33）时，我们可以假定顶点算符V被嵌入x=y=0平面。式（5.4.8）的共形不变性特别意味着，在尺度变换

下的不变性。一个物理闭弦顶点算符V具有维数2，而且这类变换在式（5.4.34）的情况下为

V→V/λ2

（5.4.35）

式（5.4.34）的不变性意味着

<V>=<V/λ2>

（5.4.36）

式（5.4.36）表明，<V>=0。

该论点中有几个问题需要评论。首先，式（5.4.31）中的顶点算符都是壳上物态的顶点算符。看起来，弦理论中不存在式（5.4.31）真正的自然脱壳连续性，也就是说，它们具有与壳上公式相似的优雅和简单。式（5.4.32）中及类似式（5.4.33）的假定的弦理论（离壳）中，算符和V当然要在零动量处进行评估。零动量仅是壳上无质量粒子的动量。于是看起来我们已经在式（5.4.33）中发现了明智的方法，仅在无质量外部态的情况中核查弦理论中的运动方程。

这个问题的解答是有启发性的。如果我们尝试在量子场理论中围绕被错误辨识的某个问题展开讨论，那么其中不遵守式（5.4.32）的情况会发生吗？在这种情况中，“蝌蚪”被插入到费曼图中，如图5.8（a）所示。“蝌蚪”表示场的期望值的改变，如果在有效的真空态附近存在转移，那么“蝌蚪”的总和将无效的真空态转移到有效的真空态。质量为M的粒子ϕ的一个“蝌蚪”正比于：

g/M2

（5.4.37）

式中，g是ϕ粒子发射的耦合常数；因子1/M2来自ϕ的传播子1/(k2+M2)，已经在kμ=0处评估了“蝌蚪”的适宜值。若耦合十分微弱（对于强耦合，围绕着经典解扩张，用途不大），对于任何非零M，“蝌蚪”很小。“蝌蚪”只要很小就是无害的讨厌，仅会带来对有效真空态的微小移动。

在弦理论中会发生什么呢？在弦理论中，“蝌蚪”自动包含在任意计算中，如图5.8（b）所示，因为增加的“蝌蚪”嵌入到传播的弦中并不改变弦的拓扑结构。正如我们已经看到的，大质量粒子的“蝌蚪”很小（在弱耦合体制中，摄动展开有意义），在弦理论中真的不需要核查巨量态的运动方程，因为这些方程若不被满足，导致的结果很小。由于“蝌蚪”在真空中的无害移动，这些“蝌蚪”在任何情形下都自动地包含在计算中。弦理论在S矩阵中有其根源，为了与此一致，没有简单的方法来回答“谁的答案是不需要的”这一问题，就像“是否大量粒子遵守其运动方程”一样。另外，无质量粒子的“蝌蚪”总是危险的，相应地存在一个好方法去探测这类“蝌蚪”，即式（5.4.33）。

为什么上述论证仅限于树水平的弦理论呢？论点中必不可少的是，在黎曼面上或者x-y平面上式（5.4.34）存在，这是一个共形变换（它在世界片度规上引起的变化由外尔尺度重新标度吸收），但不是等距同构变换。对于非球面的闭弦图，没有这种类似物。例如，在圆环上，或者RP2仅共形变换是刚体运动，这种运动并不给出这个论点中使用的非平凡的比例定律，即式（5.4.33）。

当包含开弦时，会发生什么呢？开弦的树水平世界片是一个圆盘，它能被共形地映射到上半平面。在x=y=0处，将开弦顶点算符嵌入上半平面的边界。在开弦理论中，基于式（5.4.34）的尺度讨论表明，恰如闭弦中的情况，共形不变意味着“蝌蚪”的消失，在论证中唯一的变化就是，因为开弦顶点算符具有共形维数1，所以式（5.4.35）和式（5.4.36）中的λ-2被λ-1替代。

如果是一对开弦和闭弦，那么情况是不同的。例如，闭弦顶点算符被嵌入到上半平面上的一个内点x=0且y≠0处。为了将一个闭弦的顶点算符耦合为开弦（上半平面），而不是闭弦（整个平面），式（5.4.36）被

<V(λy)>=<λ-2V(y)>

（5.4.38）

替代。这并不意味着“蝌蚪”的消失，仅意味着<V(y)>正比于y-2。于是，闭弦“蝌蚪”在上半平面是非零的、环面RP2，在任何世界片，除了平面（或者黎曼球）。我们将在第8～10章广泛地遇到这类“蝌蚪”。

下面进行进一步的讨论。引力子和伸缩子顶点算符都具有的形式为

k2=0。极化张量对称且满足：

以便使式（5.4.39）具有正确的共形维数。在引力子的情况中，是无迹的，因为迹描述自旋为零的粒子。注意到极化张量被定义为

式中，εμ是任意矢量，满足ε·κ=0，保持式（3.4.40）的性质。该改变对应于纵向极化引力子，它是从物理过程中解耦出来的，作为壳上规范不变量的结果。

在伸缩子的情况中，可以假定～，但是这并不满足式（5.4.40）。这可以通过选择式（5.4.42）来克服。

式中，是任意矢量，满足和。式（5.4.42）中的后两项对应于从物理过程中解耦的纵向部分。除了在处，引力子和伸缩子明显地对应于顶点算符。然而，在式（5.4.33）中，我们恰恰工作在处，式（5.4.40）和式（5.4.42）是兼容的，于是我们没有足够的顶点算符以独立地探测引力子和伸缩子场的所有分量的运动方程。作为结果，我们本质上已经核查了所有无质量场的“蝌蚪”，除了1。利用比安基恒等式可以证明，一个“丢失的”方程等价于必要条件，即维拉宿异常c应该具有修正值。

5.4.4　弦理论对于广义相对论的修正

直截了当地，至少从概念上我们将导出对应于广义相对论的弦理论。爱因斯坦真空场方程Rμν=0对应于单圈贝塔函数，即式（5.4.27）的消失。显然，，而爱因斯坦场方程的修正也能通过对单圈贝塔函数的修正计算而发现。包括单圈和双圈的贡献，贝塔函数是

式（5.4.43）中第二项的计算是非平凡的。然而，明显的是，由于式（5.4.8）中的耦合常数（在黎曼标准坐标中）正比于黎曼张量及其导数，双圈贝塔函数通过式（5.4.43）中的第二项给出。于是，第二项是对广义相对论的弦的修正，该项在，或者M的半径变得非常大而正比于的方根时消失。

5.4.5　其他模式

现在我们对背景场中的玻色弦进行更系统的处理，其作为背景的一部分，包括闭弦的全部无质量态（不仅是引力子）。相关的闭弦场是反对称张量和伸缩子，以及引力场。

我们写下关于场的最一般的作用量，这个场在弦世界片再参量化时不变，也可以通过功率计数重整化。后者的条件意味着在作用量的每一项中必然严格地存在两个世界片的导数。一个可能的项是我们已经研究过的作用量，即

它包含26-维引力的效应。该式与式（5.4.2）、式（3.4.8）相仿，只是，是最一般化的作用量，在弦世界片的再参数化之下不变。第二个作用量是

该式使用了世界片反对称张量，给出了一个包括反对称张量场的方法。因子α’通常取值1/2，以便使式（5.4.44）和式（5.4.45）无量纲。的取值为；实际上是张量密度，因为像张量那样变换。注意，在规范变换

下，式（5.4.45）中的被积函数通过总散度变化。我们仍需要寻找一种方法，在西格玛模型中合并伸缩子场Φ。

世界片李奇标量R(2)包含世界片度量h的两个导数，所以乍一看两维爱因斯坦-赫尔伯特作用量

是在世界片理论中能够考虑的可重整化和再参量化的不变量项。然而，这是一种错觉。因为对h，式（5.4.47）实为拓扑不变量，它没有给二维度规h提供动力。看到式（5.4.47）是拓扑不变量，首先注意任何维度的黎曼张量遵守：

在两维时空中，二阶反对称张量必须正比于，于是正比于R(2)，它遵守：

利用缩约式（5.4.49），可得

此外，式（5.4.47）在任何维度的变化中，度规张量的无穷小变化为

从式（5.4.50）的观点看，它在两维时空中为零。这并不意味着式（5.4.47）在两维时空中为零，只是意味着式（5.4.47）在世界片度规中在任意变化下不变，仅依赖于弦世界片的拓扑。

我们得到的标准结果表明，若弦世界片是属g的紧致黎曼曲面，则属g与数量χ的关系是

数量χ称为二维流形的欧拉特性数，也是两维爱因斯坦-赫尔伯特作用量；g是紧致黎曼曲面的属。

作为世界片的拓扑不变量，式（5.4.47）并非真的对西格玛模型做出了贡献。然而，标量是无量纲的，在两维中我们可以将式（5.4.47）推广为更一般的可重整化的相互作用量：

在西格玛模型中对26-维的伸缩子场，这证明是一个正确的方法。

现在考虑具有作用量S=S1+S2+S3的西格玛模型，并探测共形不变量。于是我们取世界片的度规的形式为

工作在(2+ε)-维时空中，我们要计算有效作用量的ϕ依赖，要回答在极限ε→0时该项是否消失。在的最低非平凡近似中，外尔不变性保持在二维的条件变为

式中，

是一个三阶反对称张量场强度，该强度在规范变换下不变（D-维中协变导数记作Dμ，在世界片上记作）。如果时空维数不限于26维，则式（5.4.55）中的第三个方程具有一个附加项，即(D-26)/3。

对这一切的关键考验是，式（5.4.55）必须有合理的物理解释。事实上，容易看到它们是来自26-维作用量的欧拉-拉格朗日方程：

因此，式（5.4.56）描述了玻色闭弦无质量模的相互作用量的长波极限。如果需要，式（5.4.56）中的引力作用量可放到中，而非中，通过吸收时空度规定义中合适的方幂实现。弦理论对式（5.4.56）的修正可以通过计算西格玛模型摄动理论的高阶修正进行计算，恰如纯引力情况。

我们已经讨论了具有两个世界片导数的西格玛相互作用项，对应于无质量场的顶点算符。在西格玛模型的拉格朗日中，也有可能包括其他算符。一个特别简单的可能性是，在拉格朗日中包括一个非导数的相互作用项，S是一个标量函数。鉴于超光子顶点算符是非衍生物，包含的相互作用对应于给出一个超光子场的期望值。在玻色西格玛模型中，这样做是很自然的，而如果不这样做的话可能是不自然的。在计算单圈西格玛模型的贝塔函数时，甚至在纯引力情况中，由于它们在维度正则化中的不相关，我们忽略了遇到的二次发散。二次发散确实反映出下列事实：在西格玛模型中，可能包括一个零维非衍生物相互作用量。

5.4.6　伸缩子期望值和弦耦合常数

本节主要研究弦在背景场中的传播，并给出了许多深刻见解。下面举例说明这些深刻见解，这些见解能够通过考虑西格玛模型得到。

若我们在玻色闭弦理论中考虑引力子散射（或者考虑任何闭弦模型的散射），则需要在每个相互作用顶点引入一个引力子耦合常数κ。具有M个外部引力子的树图有M-2个相互作用顶点，如图5.9（a）所示，这时每个圈图又增加了两个顶点，如图5.9（b）所示。于是，一个通常的圈图正比于：

式中，M是外顶点算符的数目；g是属的黎曼面，也是回路的数目；因子可被正则化的外顶点算符吸收。我们简单地使用而不是V作为弦态发射的顶点算符。现在我们专注于对循环依赖因子进行解释。

除了，在26-维时空中它还有(长度)12的维数。因此，乍一看闭玻色弦理论中包含一个任意的基本无维参数。但令人失望的是，若协调量子力学与引力，则涉及新的基本无维常数。幸运的不是这种情况。我们回到前面的西格玛模，它具有作用量S=S1+ S 2+ S 3。属g表面的路径积分包括配分函数：

这里需要强调的是，因子好像是式（5.4.57）需要的。要理解为什么玻色弦理论中不存在基本无维参数，关键是式（5.4.58）相对简单地依赖于伸缩子场Φ。回顾式（5.4.47）、式（5.4.52）和式（5.4.53），我们看到，在变换

之下，西格玛模作用量随

变化。式中，a为任意常数。式（5.4.58）的效果等价于重新定义的引力子耦合的

的效果。于是，的值能被吸收到真空希望值Φ的移动中，不是理论的基本参数。

上面给出的结果也能够在低能有效的作用下进行核查。式（5.4.57）中包含引力耦合常数，是自由参数。实际上的值可在Φ值的移动中被吸收（没有改变的值，因为没有出现在S3中）。这不是由一个基本无维参数标记的单参数的理论族。玻色弦理论是一个单一的理论，在树水平上具有单参数族的真空态，该真空态由无质量标量场Φ的任意期望值描述。