6.4　现代协变量子化

超弦的RNS模型可以通过4.4节中描述玻色弦的相同技术进行量子化。这里，除了先前得到的超对称，还有与局域世界片超对称相关的玻色子幽灵。当正确地包含了整个超-维拉宿代数时，就可正确地选择维数和基态质量。因为分析方法类似于我们在玻色子情形已经提供的方法，所以这里我们只是摘要式地写出来。

6.4.1　法捷耶夫-波波夫幽灵

在5.1.1节中我们证明了遍及度规的路径积分能够被一个保形因子ϕ和再参量化坐标取代。只要给定的度规能够通过局域尺度变换和再参量化变换的固定参考度量来实现，这就是可能的。对属g>0的世界片，仅用这种方法不可能推导出所有度规。例如，以泰希米勒尔参数的有限数目为特征的度规不能以这种方法实现。泰希米勒尔参数，即泰希米勒尔空间的参数，是共形开林矢量。若我们仅发展幽灵坐标和BRST对称性，决定临界维数，则这种复杂化可以忽略。

第5章涉及局域再参量化不变性的洛伦兹规范引出了反对易幽灵坐标，它们分别具有共形维数2和-1。我们将从曾经遵从的路径中推导出幽灵作用量。可被规范的经典陈述意味着它总能以形式

表示，并要求具有合理的边界条件。故可在从到η和ε的路径积分中改变变量，之后丢弃“积分遍及η和ε”这一条件。这并非意味着引力子在两维超引力作用中的存在是没有时间的。变量从到η和ε的改变引出了一个雅可比，它又能表达为幽灵路径的积分。

在欧氏世界片情形中，洛伦兹群是SO(1,1)或者SO(2)，我们采用后一种的说法。SO(2)有单独的生成子，叫作W，而SO(2)表示给出的W的本征值叫作自旋。我们感兴趣的表示是W的整数值或者半整数值。引力场的矢量指标α对应于自旋±1，还有一个旋量指标A，对应于自旋±1/2。总之，有4个分量，即±1，±1/2，它们的组合分别是3/2，1/2，-1/2，-3/2。式（6.4.1）中的规范参数η和ε都是具有自旋±1/2的两分量旋量。例如，其微分算符有分量。所以式（6.4.1）可以更详细地写作：

我们可以抛弃式（6.4.2）中的第二个和第三个方程，因为我们真正感兴趣的是第一个和第四个方程。在变量从到的变化中，出现的雅可比是

式中，的上标意味着要被看作一个算符，它将自旋1/2映射到自旋3/2上。为了把它表示为行列式，我们引入指定的自旋场和，并写作：

由于和是反对易对称的幽灵场，或者是出现在式（6.4.3）中的行列式的逆，所以它们必须是对易场。同样，在变量从到的变化中，出现的雅可比是

式（6.4.5）具有新的对易幽灵和。场称为超-共形幽灵。

的两个分量组成一个旋量。的两个分量组成一个矢量-旋量，该量受制于约束：

实际上，式（6.4.6）的等号左边是一个具有自旋±1/2的两分量旋量。式（6.4.5）和式（6.4.6）中的幽灵作用量可以重新表达为协变形式：

在规范中，运动方程意指右-动，而其他分量左-动。

我们专注于右-动分量，同时抑制中的3/2和-1/2，可得共形幽灵的能量-动量张量：

以及β-γ系统的幽灵流：

根据模展开式：

由表示的对易关系是

式中，γ是厄米算符；β是反厄米算符。幽灵坐标对超-维拉宿生成子的贡献遵从关于的公式。总之，幽灵的贡献是

以及

容易证明，表示中的c和b分别具有共形维维数-1和2，γ和β分别具有共形维数-1/2和3/2。对易子

具有异常

由于α和d振子的贡献是

因此，对于D=10和a=0，异常消除。由于雅可比恒等式也被抵消。在玻色扇区有

6.4.2　BRST对称

按照惯例，在约束的代数中用结构常数写出幂零BRST荷，如同5.2.1节中所描述的，这个方法对于分级代数也适用。由超-维拉宿代数使用惯例，得

证明在D=10和a=0时，有点复杂。作为简单核查，我们注意：

式中，Ln和Fn代数中奇异性的缺失与Q的幂零性相一致。将同样的分析应用于玻色扇区，在这个扇区中具有明显的替代关系：Fm→Gr，γm→γr，βm→βr，α=0→a=1/2。存在复杂的与玻色子并不共享的费米扇区，在这个扇区中γ和β振子具有零模，对福克空间的基态给出一个无限简并度。这个简并度具有重要含义。

6.4.3　维拉宿异常的协变计算

本节我们描述维拉宿异常的协变计算，类似在5.2.1节中对玻色子的讨论。讨论很容易，因为所有必要的公式都已在该部分及后面的关于玻色化的公式中得出。我们已知的理论有10-维玻色子，10-维费米子，共形幽灵b和c，以及超-共形幽灵γ和β。在5.2.2节中我们注意到，可以给定一对反对易自由度，如b和c，能量-动量张量族。一对反对易自由度具有同样的外尔奇异性，如玻色子的。费米子有10个反对易自由度，全部具有共形自旋1/2，或者与先前讨论过的那些比较其能量-动量张量，它们有κ=0。另外，b和c具有κ=3，贡献了-26个玻色子的异常。关于超-共形幽灵γ和β怎么样呢？将它们的能量-动量张量与5.2.2节中讨论过的进行比较，有κ=2。我们必须记住，超-共形幽灵的自由度是可交换的，与5.2.2节中讨论过的反对易自由度截然相反。因此，对给出维拉宿异常的，在计算单圈图时它们没有费米统计的减号，而对5.2.2节中的费米统计计算起到了重要作用。所以它们给出了+11而不是玻色子贡献的-11。于是，总共形异常是10+5-26+11=0，这就证明了在10-维时空中异常不存在。