2.6.2　石墨烯片上螺旋电感的等效电路模型和参数提取

削去焊盘寄生以后，石墨烯电感等效电路模型的本征等效串联电阻Rs（ω）和等效串联电感Ls（ω）的表达式如下：

图2.46给出了等效串联电阻和等效串联电感随频率变化曲线，由于在高频范围内，石墨烯电感的等效串联电阻持续下降且等效串联电感持续上升，因此改进的模型中引入了与Rs0并联的电容C，用来表征电感的高频特性，如图2.47所示［17］。没有并联电容C的电路无法描述出等效串联电阻和电感随频率的变化，而改进模型中的RC并联网络可以模拟出高频变化的情况。同时，从图2.46中可以看到，模型中电容数值的增加使得Rs下降的幅度变大且速度变快，同时Ls的上升趋势也有类似变化。

图2.46　等效串联电阻和等效串联电感随频率变化曲线

图2.47　石墨烯电感等效电路模型

确定附加电容C的步骤如下：首先绘出等效串联电阻Rs（ω）随频率变化曲线，在频段近中心位置选取两个频率点（ω1和ω2），可以获得两个频率处的电阻本征等效串联电阻Rs（ω）和等效串联电感Ls（ω），通过这两个方程来提取Rs1和Ls1：

在频率接近直流的情况下（ω→0时），根据等效串联电阻和等效串联电感随频率变化曲线可以获得直流电阻Rdc和直流电感Ldc，其表达式如下：

图2.48给出了石墨烯电感等效电路模型参数提取流程图。首先，经过去嵌处理之后得到电感本征部分的S参数，将其转换为Y参数；确定Rdc和Ldc的值及Rs1的范围；选定一个C的初始值，选择两个近频段中心位置的频率点，计算得到相应的电阻Rs1、电感Ls1及Rs0和Ls0的值；接着判断所得到的Rs1和Ls1是否符合物理取值范围的要求，若满足则计算模拟所得的S参数与测量值的误差值，若不满足则直接更新电容C值。经过多次电容C的更新和计算其他参数的值，选择与测量数据误差最小的一组，那么这时提取出来的参数就是本文需要提取的本征参数。

图2.48　石墨烯电感等效电路模型参数提取流程图

优化误差是通过将S参数的绝对误差设为误差函数标准定义的。

式中：上标c代表模拟的S参数；m代表测量的S参数；n为采样点的数量，n=0，1，2，…，N-1。