3.2.2 控制系统的稳态误差

控制系统的稳态误差，是系统控制准确度（控制精度）的一种度量，它表达了系统实际输出值与希望输出值之间的最终偏差，通常称为稳态性能。在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。对于一个实际的控制系统，由于系统结构、输入作用的类型（控制量或扰动量）、输入函数形式（阶跃、斜坡或加速度）的不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到平衡位置。此外，控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区、零位输出等非线性因素，这些都会造成附加的稳态误差。可以说，控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一是尽量减小系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某个容许值。显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。

系统对典型输入信号（包括扰动信号）作用下的稳态误差是有要求的，稳态误差超过规定，系统就不能准确地完成任务。实际上，由于系统固有的结构和特性，决定了系统在不同输入信号作用下，会有不同的稳态误差。同时，系统静态特性不稳定和参数变化等因素也会导致系统产生一定的稳态误差。有时，把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系统。本节主要研究具有不同结构或不同传递函数的系统在不同的输入信号作用下产生的稳态误差，以及参数变化对系统稳态响应的影响，相应地如何降低系统的稳态误差等内容。

1.稳态误差的概念

如图3-28所示，对于单位反馈系统或随动系统，稳态误差定义为

它表示系统稳定时实际输出值与希望输出值之间的偏差。

有很多系统是非单位反馈系统，如图3-29所示，这时，稳态误差可以定义为

实际上，单位反馈系统可以看成非单位反馈系统的一种特例，此时的H（s）=1。所以，按照非单位反馈系统定义系统的误差e（t）更具一般性，即

容易求得误差信号e（t）与输入信号r（t）之间的传递函数为

根据终值定理，稳定系统的稳态误差为

由式（3-65）可知，稳态误差与输入信号和系统的结构、参数有关。图3-30给出了某一系统在不同典型输入信号作用下的响应曲线。由图可知，系统在典型信号作用下能正常工作，稳态误差e_ss维持在一定范围，但在另一种典型信号作用下稳态误差e_ss很大，甚至随着时间越来越大，则系统就不能正常工作。所以，在规定稳态误差要求时，要指明输入信号的类型。

当输入信号的形式确定后，系统的稳态误差将只取决于系统的结构和参数。

2.稳态误差的计算

若控制系统的开环传递函数为

则说明系统有N个积分环节串联。因为系统的类型常按其开环传递函数中串联积分环节的数目分类，所以称此系统为N型系统，当N=0，1，2，…，N时，则分别称之为0型、Ⅰ型、Ⅱ型、…、N型系统。增加型数，可使系统精度有所提高，但对稳定性不利，实际系统中N≤2。G_k（s）的其他零极点，对分类没有影响。

1）单位阶跃输入时的稳态误差

设系统输入为单位阶跃信号，按式（3-65），系统的稳态误差为

令为位置误差系数，它实际上等于系统的开环放大系数，因此

对于0型系统，N=0，则

对于Ⅰ型或Ⅰ型以上的系统，N≥1，则

上述分析表明，由于0型系统中没有积分环节，对阶跃输入的稳态误差为一定值，其值基本上与系统开环放大系数K成反比，K越大，e_ss越小，但总有误差，除非K为无穷大。所以这种没有积分环节的0型系统，又常称为有差系统。

对于实际系统，通常允许存在稳态误差，只要它不超过规定指标即可。所以有时为了降低稳态误差，常在允许的稳态条件下，增大K_p或K。若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则系统必须是Ⅰ型或Ⅰ型以上的，即前向通道中必须有积分环节。

2）单位斜坡输入时的稳态误差

当参考输入为单位斜坡信号时，系统的稳态误差为

令为速度误差系数，故

对于0型系统，N=0，则

对于Ⅰ型系统，N=1，则

对于Ⅱ型或高于Ⅱ型的系统，N≥2，则

上述分析表明，0型系统对于等速度输入（斜坡输入）不能紧跟，最后稳态误差为∞。具有单位反馈的Ⅰ型系统，其输出能跟踪等速度输入，但总有一定误差，为使稳态误差不超过系统的规定值，K值必须足够大。对于Ⅱ型或高于Ⅱ型的系统，稳态误差为零，这种系统有时称为二阶无差系统。

所以对于等速度输入信号，要使系统稳态误差一定为零，必须使N≥2，即必须有足够的积分环节数。

3）单位抛物线信号（等加速度信号）输入时的稳态误差

已知，所以稳态误差

令为加速度误差系数，故

对于0型或Ⅰ型系统，N=0或N=1，则

对于Ⅱ型系统，N≥2，则

对于Ⅲ型或高于Ⅲ型的系统，N≥3，则

K_a=∞,e_ss=0

所以当输入为单位抛物线信号时，0型或Ⅰ型系统都不能满足要求，Ⅱ型系统能工作，但要有足够大的K_a或K。只有Ⅲ型或Ⅲ型以上的系统，当它为单位反馈时，系统输出才能紧跟输入，且稳态误差为零。但必须指出，当前向通道积分环节数增多时，会降低系统的稳定性。

当输入信号是上述典型信号的组合时，为使系统满足稳态响应的要求，N值应按最复杂的输入信号来选定（例如输入信号包含有阶跃和等速度信号时，N值必须不小于1）。

综上所述，表3-5概括了不同输入信号作用下不同型别系统的稳态误差。

3.主扰动输入引起的稳态误差

一般情况下，系统除了受到输入信号的作用，还可能承受各种扰动信号的作用，如系统负载的变化、海浪的扰动、工况引起的参数变化等。在这些扰动信号的作用下，系统也将产生稳态误差，称为扰动稳态误差。

通常认为系统的负载变化往往是系统的主要扰动，假设扰动N（s）的作用点如图3-31所示，现在分析它对输出或稳态误差的影响。

由于

C(s)=N(s)+G(s)E(s)=N(s)+G(s)[R(s)-H(s)C(s)]

所以

其中，右端第一项为扰动N（s）对输出的影响。由于要研究N（s）的影响，故可认为R（s）=0，所以

其中，为输出与扰动之间的传递函数。误差信号与扰动信号之间的关系为

稳态时

若扰动为单位阶跃信号n（t）=1（t），则

由此可见，在扰动作用点以前的系统前向通道G（s）中的放大系数越大，则由扰动引起的稳态误差就越小。对于无差系统，即型别为Ⅰ型或Ⅰ型以上的系统，G（0）=∞，扰动不影响稳态响应。所以，为了降低扰动引起的稳态误差，常采用增大扰动点以前的前向通道放大系数或在扰动点以前引入积分环节的方法，但是，这样会给系统稳定工作带来困难。

4.降低稳态误差的措施

为使稳态误差满足要求，以上分析中给出了可以采取的措施，并指出了降低误差与系统稳定性之间的矛盾。概括起来，降低稳态误差的措施如下。

（1）增大系统开环放大系数可以增强系统对参考输入的跟踪能力；增大扰动作用点之前前向通道的放大系数可以降低扰动引起的稳态误差。增大开环放大系数是一种降低稳态误差最有效、最简单的办法，它可以用增加放大器或提高信号电平的方法来实现。

（2）增加前向通道中积分环节个数，使系统型别提高，可以消除不同输入信号的稳态误差。但是，增加前向通道中积分环节个数，或增大开环放大系数，都会使闭环传递函数的极点发生变化，导致系统的稳定性降低，甚至造成系统不稳定，所以为了保证系统的稳定性，必须同时对系统进行校正。

（3）保证元件有一定的精度和稳定的性能，尤其是反馈通道元件。

（4）如果作用于系统的主要干扰可以测量，则采用复合控制来降低系统误差，消除扰动影响，是一种很有效的办法。图3-32表示了一个按输入反馈——按扰动顺馈的复合控制系统，图中G（s）为受控对象的传递函数，G_c（s）为控制器的传递函数，G_n（s）为干扰信号N（s）影响系统输出的干扰通道的传递函数，G_N（s）为顺馈控制器的传递函数。如果扰动量是可测的，并且G_n（s）已知，则可通过适当选择G_N（s）以达到消除扰动所引起的误差的目的。

按系统结构框图可求出C（s）对N（s）的传递函数

若取G_N（s）使G_n（s）+G（s）G_N（s）=0，即

则可消除扰动对系统的影响，其中包括对稳态响应的影响，从而提高系统的精度。

由于顺馈控制是开环控制，精度受限，且对参考输入引起的响应没有作用，所以为满足系统对参考输入响应的要求，以及为消除或降低其他扰动的影响，在复合控制系统中还需借助反馈和恰当选取G_c（s）来满足要求。

为了提高系统对参考输入的跟踪能力，也可按参考输入顺馈来消除或降低误差。其原理与按扰动顺馈相同，如图3-33所示，只是G_N（s）输入的不是N（s）而是R（s）。此时确定传递函数G_N（s）的方法，是使系统在参考输入作用下的误差为零。按系统结构框图，可求出E（s）对R（s）的传递函数

令1-G（s）G_N（s）H（s）=0，即

则可以消除由参考输入所引起的误差。