3.3 向心叶轮出口滑移系数的计算方法

目前，可以采用试验测量、叶轮数值计算和简单的解析计算等方法得到滑移系数。前两种方法需要完整的叶轮几何信息和复杂的操作，才能得到滑移系数，不便于设计初始阶段或选型使用。解析计算则通过简单的叶轮内部环流分析和适当的假设得到滑移系数，需要叶轮几何信息少，又有一定的准确性，便于工程应用，因此本章采用这种方法。

叶轮的流动滑移主要是由叶轮旋转引起的，因此可以仅考虑叶轮进、出口用圆柱面封闭起来的漩涡强度为2ω的二维有势流动，即相对涡流或轴向漩涡或相对环流，如图3⁃7所示。该环流在叶轮进口和出口边引起的诱导速度分别就是进口和出口的滑移速度。从流体力学角度，需要采用数值方法求解流函数的Poisson方程或势函数的Laplace方程才能得到图3⁃7所示的环状流线和等势线[30]。

为了便于解析计算，假设环流的漩涡中心O是∠DAB、∠ABC和∠BCD平分线的交点，这些角平分线本身是等势线，叶片工作面AD、背面BC、进口AB和出口DC上的漩涡诱导速度各自等于常数。

图3⁃7 轴向漩涡

注：t1为流道进口AB的长度（m）；t2为流道出口CD的长度（m）；β1为叶片进口角（°）；β2为叶片出口角（°）。下同。

然后取含有叶片工作面AD或背面BC或进口AB或出口DC流线及等势线所围成的曲线的速度线积分。根据斯托克斯定理（即在涡量场中沿任意封闭曲线的速度环量与以该曲线为周界所围曲面上的涡通量相等）计算该流线上的流体速度，其中进口AB或出口DC上的流速分别是进口和出口滑移速度。

由于OD不是等势线，所以计算叶轮出口滑移速度Δvu2遇到了困难。取环线ADCO做速度线积分，结果流线AD的未知速度ΔvCD也出现在斯托克斯定理的方程中，造成了一个方程两个未知数无法求解的局面。

为此，必须对Δvu2和ΔvCD之间的关系做进一步分析和假设。本章中提出四种不同的假设：

假设一：假设AD上的诱导速度ΔvCD等于DC上的诱导速度Δvu2，即ΔvCD=Δvu2；

假设二：假设AD上的诱导速度ΔvCD与DC上的诱导速度Δvu2存在一比值k，且k等于曲边三角形ADO的面积除以曲边三角形DOC的面积，即；

假设三：过D点作曲线DE，使DE⊥OC，垂足为E，假设该曲线DE与轴向漩涡的流线相垂直。

假设四：假设在液力透平的向心叶轮流道内其相对速度沿叶片工作面从叶轮进口到出口均匀变化。

下面具体给出四种假设条件下滑移系数的计算方法。

1.方法一

为了计算，过点O分别做OF⊥AD，OG⊥BC，垂足分别为点F、点G。由斯托克斯定理可知，封闭曲线DCOAD上的速度环量

式中 ω——叶轮内轴向漩涡的角速度（rad/s），其方向与叶轮的转向相反，而大小与叶轮的旋转角速度相等；

df——轴向漩涡涡管的微元面积（m2）；

SDCOA——曲线DCOAD所围成的曲面面积（m2）。

轴向漩涡强度是均匀分布的，所以速度环量

ΓDCOAD=2ωSDCOA （3⁃8）

假设AD上的诱导速度ΔvCD等于DC上的诱导速度Δvu2，即ΔvCD=Δvu2，则

ΓDCOAD等于封闭围线DCOAD的每段围线环量之和，CO线和AO线均与轴向漩涡流线相垂直，因此沿这两条曲线的速度环量ΓCO、ΓOA均为0，于是有

由上式可知

又 SDCOA=SΔADO+SΔODC （3⁃11）

式中r1、r2分别为叶轮进出口半径（m），下同。

在曲边四边形ADCO和曲边三角形ABO中，CO线、BO线和AO线均垂直于轴向漩涡的流线，因此

所以：可见，曲边三角形ABO为直角曲边三角形，且有

所以

将式（3⁃13）、式（3⁃14）代入式（3⁃12）

又

所以

将式（3⁃17）、式（3⁃19）代入式（3⁃16）

将式（3⁃15）、式（3⁃20）代入式（3⁃11）

将式（3⁃13）、式（3⁃21）代入式（3⁃10）

所以叶轮出口边上的诱导速度，即滑移量

又，，z为叶片数，则

设在假设一的条件下得到的液力透平叶轮出口的滑移系数为λ1，则

2.方法二

假设AD上的诱导速度ΔvCD与DC上的诱导速度Δvu2存在一比值k，且k等于曲边三角形ADO的面积除以曲边三角形DOC的面积，即。

则有

所以

即有

所以叶轮出口边上的诱导速度，即滑移量

设在假设二的条件下得到的液力透平叶轮出口的滑移系数为λ2，则

3.方法三

假设曲线DE与轴向漩涡的流线相垂直，则有

ΓDC=ΓDECD=2ωSΔDEC（3⁃31）

又

所以

将式（3⁃32）代入式（3⁃31）

所以叶轮出口边上的诱导速度，即滑移量

设在假设三的条件下得到的液力透平叶轮出口的滑移系数为λ3，则

4.方法四

在图3⁃8中为求解SDCOA，曲边四边形ADCO被近似的四边形A′D′C′O′所代替，曲边三角形ABO被近似的三角形A′B′O′所代替，如图3⁃8所示。

图3⁃8 近似图形

a）近似的三角形A′B′O′b）近似的四边形A′D′C′O′

过O′作O′E′⊥A′D′于点E′，过C′作C′O″⊥O′E′交于E′O′的延长线于点O″，然后过D′作D′D″⊥O″C′于点D″，交O′C′于点F′。

在曲边四边形ADCO和曲边三角形ABO中，CO线、BO线和AO线均与轴向漩涡流线相垂直，因此

所以

可见，三角形A′B′O′为直角三角形。令A′B′=t1，C′D′=t2，则有

在四边形A′D′C′O′中

因此图3⁃8b中的直角三角形A′E′O′的面积

又在直角梯形E′D′C′O″中

由于ΔC′D″F′与ΔC′O′O″相似，则有：

所以：

经整理，得

因此图3⁃8b中直角梯形O″E′D′C′的面积

经整理，得

又图3⁃8b中直角三角形O″O′C′的面积

经整理，得

所以在图3⁃8b中四边形O′E′D′C′的面积

经整理，得

因此曲线DCOAD所围的面积

经整理，得

令，则

将式（3⁃36）代入式（3⁃8）

ΓDCOAD等于封闭围线每段围线环量之和，于是有

ΓDC=ΓDCOAD-ΓAD （3⁃37）

由于Δw在距离叶片较近处较小，而在两叶片的中间位置较大，所以可假设在液力透平的叶轮流道内其相对速度沿叶片工作面从叶轮进口到出口均匀变化。因此在计算ΓAD时可取叶轮进出口相对速度的平均值wAD。

即

又

所以边AD上的环量

由进出口速度三角形可知

所以

即边DC上的环量

所以在圆周速度方向上，当叶片数有限时，叶片出口的绝对速度分量的偏移量即液流的滑移量

又，，则

设在假设四的条件下液力透平叶轮出口的滑移系数为λ4，则

经整理，得

式（3⁃39）中的

式中r1、r2——分别为叶轮进出口的半径（m）； z——叶轮叶片数； vm1——在有限叶片数下叶片进口的绝对速度的轴面分量（m/s），，且D1=2r1为叶轮的进口直径（m）；b1为叶片的进口宽度（m）；ηv为液力透平的容积效率；Q为透平流量（m3/s）；ψ1为叶片进口排挤系数，，γ1为轴面截线与轴面流线的夹角（°），一般γ1=60°～90°；δ1为叶片进口的真实厚度（m）；vm2——在有限叶片数下叶片出口的绝对速度的轴面分量（m/s），且F2为叶片出口轴面液流的过水断面面积（m2），F2=2πRb，b、R分别为在叶轮的轴面投影图中小流道的宽度和半径（m）；ψ2为叶片出口的排挤系数，取ψ2=0.85。