2.5 MATLAB下矩阵的运算
2.5.1 矩阵的代数运算
矩阵的代数运算包括加、减、乘、数乘、点乘、乘方、左除、右除等。其中加、减、乘与大家所学的线性代数中的定义是一样的，相应的运算符为“+”“－”“*”。
对于上述的运算，需要注意的是，矩阵的加、减、乘运算对维数要求与线性代数中的要求一致。
1.矩阵的加减运算
设A＝（aij），B＝（bij）都是m× n矩阵，矩阵A与B的和记成A+B，规定为：
1）交换律：A+B＝B+A。
2）结合律：（A+B）+C＝A+（B+C）。
例2-16：验证加法法则。本实例验证矩阵加法的交换律与结合律。
解：MATLAB程序如下。
减法运算法则为：A－B＝A+（－B）。
例2-17：矩阵求差。本实例求矩阵的减法运算。
解：MATLAB程序如下。
2.矩阵的乘法运算
（1）数乘运算
数λ与矩阵A＝（aii）m×n的乘积记成λA或Aλ，规定为：
同时，矩阵还满足下面的规律：
λ（μA）＝（λμ）A
（λ+μ）A＝λA+μA
λ（A+B）＝λA+λB
其中，λ，μ为数，A，B为矩阵。
（2）乘运算
若3个矩阵有相乘关系，设A＝（aij）是一个m× s矩阵，B＝（bij）是一个s× n矩阵，规定A与B的积为一个m× n矩阵C＝（cij）：
cij＝ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsji＝1，2，…，m； j＝1，2，…，n
即C＝A*B，需要满足以下3种条件。
◆ 矩阵A的列数与矩阵B的行数相同。
◆ 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数。
◆ 矩阵C的第m行n列元素值等于矩阵 A的 m行元素与矩阵 B的 n列元素对应值积的和。
注意：
若矩阵A、B满足AB＝0，未必有A＝0或B＝0的结论。
3.点乘运算
点乘运算是指将两矩阵中相同位置的元素进行相乘运算，将积保存在原位置组成新矩阵。
例2-18：矩阵点乘运算。
解：MATLAB程序如下。
4.矩阵的除法运算
由于矩阵的特殊性计算左除A＼ B时，A的行数要与B的行数一致，计算右除A/B时，A的列数要与B的列数一致。
（1）左除运算
A*B通常不等于B*A，除法也一样。因此除法要区分左除和右除。
线性方程组D*X＝B，如果 D非奇异，即它的逆矩阵inv（D）存在，则其解用MTLAB表为：
X＝inv（D）*B＝D＼B
符号“＼”称为左除，即分母放在左边。
左除的条件：B的行数等于D的阶数（D的行数和列数相同，简称阶数）。
例2-19：求解矩阵左除。
解：MATLAB程序如下。
（2）右除运算
若方程组表示为X*D1＝B1，D1非奇异，即它的逆阵inv（D1）存在，则其解为：
X＝B1*inv（D1）＝B1/D1
符号“/”称为右除。
右除的条件：B1的列数等于D的阶数（D的行数和列数相同，简称阶数）。
例2-20：验证矩阵的右除。
解：MATLAB程序如下。
