4.1.1　贝塞尔曲线的原理

贝塞尔曲线又叫贝济埃曲线，是一种用于二维图形的数学曲线。贝塞尔曲线由节点和线段构成，其中节点是可拖动的支点，而线段仿佛有弹性的牛皮筋。譬如上班族每天两点一线，一个端点是家，另一个端点是单位，那么从家到单位存在一条通勤路线，该路线弯弯曲曲在大街小巷之间穿行。这个上班路线无疑由许多条折线连接而成，既无规律也无美感，无法通过简洁的数学公式来表达。为此法国数学家贝塞尔研究出一种曲线，除了起点和终点之外，不再描绘中间的折线，而是构建一段运输小球的控制线，控制线本身在移动，然后小球随着在控制线上滑动，小球从起点运动到终点的轨迹便形成了贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线又分为以下三类曲线：

（1）一次贝塞尔曲线

此时曲线只是一条两点之间的线段，它的函数公式为B(t)=P₀+(P₁-P₀)t=(1-t)P₀+tP₁,t ∈[0,1]。

（2）二次贝塞尔曲线

此时除了起点和终点，曲线还存在一个控制点，它的函数公式为B(t)=(1-t)²P₀+2t(1-t)P₁+t²P₂,t ∈[0,1]。

二次贝塞尔曲线的小球运动轨迹如图4-1和图4-2所示。图4-1为小球运动到三分之一时的路径曲线，图4-2为小球运动到三分之二时的路径曲线。

图4-1　小球运动到三分之一时的二次曲线

图4-2　小球运动到三分之二时的二次曲线

（3）三次贝塞尔曲线

此时除了起点和终点，曲线还存在两个控制点，它的函数公式为B(t)=P₀(1-t)³+3P₁t(1-t)²+3P₂t²(1-t)+P₃t³,t ∈[0,1]。

三次贝塞尔曲线的小球运动轨迹如图4-3和图4-4所示。图4-3为小球运动到三分之一时的路径曲线，图4-4为小球运动到三分之二时的路径曲线。

图4-3　小球运动到三分之一时的三次曲线

图4-4　小球运动到三分之二时的三次曲线

贝塞尔曲线拥有优美的平滑特性，使得它广泛应用于计算机绘图，甚至Android也自带了与之相关的操作方法。这些方法都是由路径工具Path提供的，具体说明如下：

• moveTo：把画笔移动到指定起点。
• lineTo：从当前点到目标点画一条直线。
• quadTo：指定二次贝塞尔曲线的控制点与结束点的绝对坐标，并在当前点到结束点之间绘制贝塞尔曲线。
• rQuadTo：指定二次贝塞尔曲线的控制点与结束点的相对坐标，并在当前点到结束点之间绘制贝塞尔曲线。
• cubicTo：指定三次贝塞尔曲线的两个控制点与结束点的绝对坐标，并在当前点到结束点之间绘制贝塞尔曲线。
• rCubicTo：指定三次贝塞尔曲线的两个控制点与结束点的相对坐标，并在当前点到结束点之间绘制贝塞尔曲线。

注意，quadTo与rQuadTo两个方法的区别在于：前者的坐标参数为绝对坐标，后者的坐标参数为参考当前点偏移的相对坐标。

有了上述的路径方法，开发者无须自己实现贝塞尔曲线的算法，只要调用相关路径方法即可，于是App绘制贝塞尔曲线就简单多了。