从两幅对偶的创意图片谈起

沈恩绍

我并不认为涉及我的那一幅图片是一种赞誉式的恭维；but I do suppose，这是一组极佳的创意：贴切与形象，自然相当夸张，但幽默且寓深意。我非常欣赏。Frankly to say，俞勇与我完全没有事先策划这么一个“一个唱白脸，一个唱红脸”的角色设计。然而实际效果确实如此，当然，我们的出发点与意愿是一致或相似的，这一点无须多言。不过将我与俞勇并列或随其后，似乎抬举我了，有点不敢当。最后，谈一下我关于这张吮吸脚趾婴儿之构思的一个联想（也不知原创者是否意识到这一点）：婴幼儿是悠长人生旅途的起步阶段，而直腿吮吸脚趾又是一高难度杂技式动作，这是否预示着他/她今后Great Expectation（远大前程）的潜力与多种可能性？借用常见的套话：一张白纸可画最新最美的图画。只不过不能由他人来代笔规划/画，必须自己一步一个脚印地艰难跋涉，顺着内心之海阔天空般想象力的指引（理想也是想象的一种）。

我给本科生上课，缘起一个偶然的因素。当时有一位青年教师去香港进修，临时让我代他的逻辑课。由于对指定的教材及国内现有的其他教科书都不满意，只得自编现讲。这是我的“集论与逻辑”课程的“创世纪”（最初只有逻辑部分）。这次授课的一个经验是：普通班中也可能有优异的学生。考试后有一位赵姓学生脱颖而出，鹤立鸡群，凤毛麟角。后得知，他在其他课程中的成绩也很优秀。这是我后来向俞勇建议，除连读班或直升班之外，也可以从普通班（自主招生）中挑选人才的原因。

ACM班的正式冠名要晚于参加ACM竞赛。在前ACM班时期，有一位陈姓学生的轶事也颇有趣。他是一位有点腼腆的联读班提前读研的学生，以后一直与ACM班有缘。他第一次引起我关注是一道关于偏序的习题。此题的结论初看似乎很简单自然，但当你想严格证明它时，却会发现很难将之说清楚。一条捷径是将偏序集视为结构，用模型论的语言进行论证。但这是一个集合论的习题，逻辑还未教呢（况且当时的教材，不如以后成熟期者，那么侧重模型论的思想方法）。而陈有一种天然的模型论的直觉意识，令我眼前一亮。第二学期的计算理论课，只有一个人报名，（可能是因前一轮中大多数学生met their Waterloo。这是CS课程中被公认为最艰难的）。就是这位陈姓同学。课自然开不起来，我交给他一本（英文版）Papadimitriou的书（该书的特点是内容精练，许多常规的内容被放在练习中；而习题中不少具有相当的挑战性）。并说有问题可找我讨论。但我记忆中，他根本就没“麻烦”过我。两、三个月后，他将书读完且将书中大量的练习几乎都做了；而且发现其中有一题的叙述有不妥之处，找出了反例。我让他与作者直接联系……与此同时，代数课的老师却因他经常缺席（现称为“翘课”）且不交作业，（据说）将他“告”到研究生院，还要他作检查。陈告诉我，代数课上的内容，大部分他在本科时已学过，除了挂一个“抽象”或“现代”的名称，实质上没有什么新东西。这场风波的结局有点儿戏剧性，也符合陈的风格：非但没有写检查，他反而退了学，去美国攻读博士学位了。临行前，他把两大本计算理论的习题集留给我作纪念。我一直收藏着，也曾给一些“后来者”作示范。

在Pre–ACM班的两、三年中，也有一些另类的经历。有位不及格学生的家长（通过班主任）责问：我儿子是“南模”理科班的高材生，高分进入交大，且“数分”的成绩还有90分，怎么在逻辑课上竟然……又有一位从少年班转过来的学生，终考成绩只有二十几分。思政老师透露这是谢（副）校长引进的“人才”，暗示能否通融？我回答：分数面前人人平等。更有几位能量大的家长，集体“告状”到教务处，教务处也派人下来调查。我坚持自己的观点与做法。最后，I survived（若是现在，结果可能完全不同）。

诚然，当年能考入交大，进入CS试点班，都是很出色的学生（其淘汰率远大于现今者）。在大学一二年级的高强度学习的冲击下，有些仍保持优秀甚至更出色，也有不少学生不能适应新的环境，迅速下坠，成为平庸之辈。

待到俞勇全面接手CS试点班进而创建ACM班时，我已“身经百战”，练就一套“软硬不吃，刀枪不入”的tough“功夫”了。而“集论与逻辑”课程的框架也基本成熟与定型了。在以后的岁月里只是更新一些细节（e.g．更多计算与复杂性的考察，etc.），增添一系列称为Digressions的Episodes，which focus on some advanced or interesting specific topics，respectively.应该指出，其集论部分的水准，要高于数学系非逻辑专业的要求且更面向CS应用；而逻辑部分，在深度与广度方面更高于我为研究生开设的应用逻辑课程。这时，我也注意到一个较奇特的现象：作为数学的一个分支的数理逻辑（包括集论），它在CS中的应用与地位，要远高于其在Math中的影响与地位。国内外均如此。

显然，这么一个高标准、大容量的课程（通常分成两门课），而且要在一学期中完成，这对于ACM班二年级的学生而言，其挑战性是可想而知的。然而，从第一届ACM班开始，有多轮的教学实践是相当成功的。我的所谓“成功”的标准（也是non-standard）：有一半以上的学生能够“劫后余生”，其中有15%的好成绩（85分以上），更有二至三名优异者（90分甚至95分以上）。我不采用常规的、为保持正态分布而允许浮动的评判方法。当然对于参加ACM竞赛的少量同学，自然另有倾斜性的考量。因他/她们为竞赛耗去了大量的时间与精力。

我有幸接触到不少ACM班的elites，我戏称他/她们为俞勇的“宝贝”。有些人有非常深厚与出众的数学功底或数学训练；有些人更擅长实践性操作性的技术；更有些是“全才”型的，当然人数很少。

我并不善于诱导学生们在课堂上热烈讨论，而紧张的课时也往往不允许这么做。但从作业或试卷中，从课外讨论甚至emails的交换中，往往会发现一些学生思维中的闪亮点：对问题与众不同的见解与思考，出乎意料的、非常规的解题思路；如果是在考试或测验卷中（甚至考试之后），我会额外加分以资鼓励与提倡。故有时考试成绩会超出满分的100分。甚至课程结束之后，也有同学写reports反馈与我，提出对该课程的有价值的看法与建议。我很享受与怀念当年这种教学相长的过程。作为教师，很有成就感。

我对我的课程与教材是相当“自以为是”的。这其中也有历届ACM班优秀学生的智慧结晶。特别须指出，原教材中有一个重大的缺陷bug，是由陶大（一位前ACM队成员及交大第一个ACM冠军队的助理教练）向我指出的。作为逻辑的语法推理系统之一的Tableau方法，具有许多优越性：易学易用易推广，特别是其背后的思想方法，在CS及AI中有广泛的应用，e.g. Model Checking。但我采用的Nerode-Shore Tableau System，当逻辑语言（Vocabulary）含有等号时，会出现一些技术性问题。我原以为在系统内部可以解决的。但陶大的反例彻底粉碎了这一设想。就像Russell Paradox打破了Cantor欲在其naïve集论内部解决悖论问题的希望一样。当然，发现了bug，设法从系统外部找到补救方法，并不是很困难了（有两种approaches）。还须指出，当年教学活动的成功，与助教们高质量的无私贡献，是分不开的。

有人会注意到，我上面使用的“怀念”、“当年”等过去时态的修辞。确实，近年来我的“成就感”越来越弱。在课堂上我也直言不讳，表达出我的“失望”。因此便有了本文开头“婴儿吮指”图片的创意，形象地反映出一些同学的感受。但须指出，我的“失望”只是从我个人的，狭窄的“逻辑”视角出发的；“缺乏成就感”也是指我为“俞勇宝贝”的成长，没提供或很少提供助益而已。我尊重并欣赏他们把兴趣与关注放在非逻辑甚至非理论的领域。事实上，我课堂上的环境，某种意义上是相当宽松的：你可以少交或不交作业甚至翘课，that's OK，只要能通过考试就行。确有“俞勇宝贝”，在课中的“投入产出比”很高，这样他们可集中更多的时间精力于自己感兴趣的方向上，做出不凡的工作。

优秀人才的表现型是多种多样、不拘一格的，而平庸者的风格却是“单调”的。成熟而有自信的人，不会被某个老师或他人的率直批评左右情绪，而是冷静地分析那些刺耳的话语中是否有合理的成分。2011年底我因甲状腺癌动手术时，有学生送鲜花及放孔明灯祝福，令我感动与惭愧。

我以为，世上有两种职业最崇高，一是医生，一是教师。这两项职业在中国，若没什么头衔的话，其经济效益不算高，但还过得去。然而若“捣浆糊”、“偷工减料”，则后果严重：前者是“谋财害命”，后者是“误人子弟”。

对于学习努力但逻辑课的成绩不理想的同学，我想提一点我的观察与思考，可能不是老生常谈。

The real problem is not that they don't know how to prove theorems. It's that they don't know what they don't know.

与此相关，作一有趣的类比，考察Leo Strauss的一句名言及其汉译。

（L. Strauss是美国当代著名的哲学家，其理论对美国社会诸多方面产生广泛的影响：政治，思想意识，法律，宗教，etc. He died in 1973.）

“One cannot know that one does not know without knowing what one does not know.”

学术界的一种译文是：不知其不知，以不知其所不知也。

L. Strauss原句中know/not know有四个不同的occurrences，各自对应的汉语含义是不尽相同的。将之机械地译为单一的“知/不知”，是不妥当的；而用“子曰”的“之乎者也”方式硬译之，更有“浑水摸鱼”之嫌。至少从信息传播的角度看，毫无意义。（“子曰”时代的文言文，缺少严谨的syntax；且词汇量少，故常一词多义。这为不懂装懂、蒙混过关的interpreters提供了方便。而L. Strauss也非乔叟或莎士比亚时代的人物）。

美国小布什内阁的防长拉姆斯菲尔德在答记者问时曾引用之，使这句Strauss sentence被广为传播。我也曾在某一次逻辑课上讲解过L．Strauss的这句“思维绕口令”。下面的译文在syntax上与原句以及与这里的主题更匹配：如果没认识到（或弄清楚）自己的无知（之所在），便不会（进而）有所认知。关于这一点，人们（往往）没能意识到。

对于想进还未进ACM班的同学，我的忠告是：你现在站在“地狱”的入口处，虽然其出口之一有可能通往“天堂”。无论什么选择，适合自己的（不仅仅是愿望）才是最好的。