万能公式

不需要考虑要测量的树干更接近于圆柱、圆锥还是圆台就可以计算出体积的近似值的万能公式还真的存在，而且这个公式不仅仅适用于圆柱、圆锥和圆台，还适用于各种棱柱、棱锥和棱台，甚至是球，这个公式就是著名的辛普森公式：

在这个公式中，h表示立体的高度；

b₁表示下底面积；

b₂表示中间截面面积（在一半高度上的截面面积）；

b₃表示上底面积。

这个万能公式是否真的像前面提到的那样，适用于圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台和球？接下来我们来证明一下。

证明的方法也比较简单，只需要将这个公式逐一应用到上述提到的几何体。为了方便，将它们分成四组，圆柱和棱柱统一为锥体，圆锥和棱锥统一为锥体，圆台为一组，球为一组。

我们先将这个公式运用到柱体中，也就是棱柱和圆柱，如图17a，我们已知b1=b2=b3，我们将之代入到公式中，可以得到：

公式中，棱柱和圆柱的面积=底面积乘以高。

17a

棱锥和圆锥的体积，如图17b，我们已知b₁=4b₂，b₃=0，我们将之代入到公式中，可以得到：

公式中，棱锥和圆锥的面积=等底等高的棱柱、圆柱体积的1/3。

17b

圆台的体积，如图17c，我们可得：

17c

球的体积，如图17d，我们可得：

17d

图17　可以用同一公式求出体积的几种几何体

这里要思考一个问题，这个万能公式是否只适用于柱体、锥体、圆台以及球？适不适用于计算平面图形的面积，比如平行四边形、梯形、三角形？

答案是完全可以，只要将公式中的字母稍微改变一下，变成：

h表示高度，

b₁表示下底长度，

b₂表示中间线长度，

b₃表示上底长度。

如何证明这一点呢？

将公式应用到上述的平面图形上，对于平行四边形，如图18a，我们可得：

图18　万能公式适用于这些图形的面积计算

你看，这个公式能够被称为万能公式，不是没有原因的。这个万能公式，一定要记住。