1.4 振动系统的组成

图1-11所示的系统模型是弹簧-振子模型，它只沿竖直方向运动，所以只需要一个广义坐标描述系统的运动状态，即系统只有一个自由度。将只有一个自由度的振动系统称为单自由度系统。

单自由度系统是最简单的振动系统，系统由质量单元（振子）、弹性单元（弹簧）和阻尼单元组成。下面分别介绍每种单元在振动系统中的特点。

1.4.1 质量单元

图1-11中弹簧-振子模型的物理参数包括振子质量m、弹簧刚度k和物理阻尼系数c。质量单元是振动系统中的惯性单元，在系统振动时提供惯性力fm(t)。根据牛顿第二定律，得到惯性力的表达式为

在分析工程实际问题时除考虑振子的质量外，有时还需要考虑弹簧质量对系统的影响。忽略图1-11中系统模型的阻尼，只考虑系统的弹簧和振子，则系统模型如图1-12所示。设系统静平衡时弹簧的总长度为l，弹簧上a点距离弹簧固定端的距离为s，弹簧的密度为ρ。

假设外力使振子相对于固定端产生单位位移，弹簧上任意一点相对于固定端产生的位移为p(s)。定义函数p(s)为弹簧的形状函数，那么弹簧的质量mk为

所以系统的质量应该是振子质量与弹簧质量的和。这种利用弹簧形状函数计算弹簧质量，并将弹簧质量考虑进系统总质量的方法叫作瑞利法（Rayleigh）。

1.4.2 弹性单元

1.等效刚度

在振动系统中，弹簧为弹性单元，对振子起支承作用。当弹簧一端固定时，弹簧的弹性力fk(t)由振子的位移x(t)决定，且有

式中，k是弹簧的刚度，单位为N/m，是指弹簧发生单位变形时所产生的弹性力。

在实际工程中，经常出现多个弹性单元同时支承结构的情况，此时需要将多个支承的刚度进行等效并简化。多个弹簧的连接方式有两种：串联和并联，如图1-13所示。

首先推导串联弹簧的等效刚度。假设对振子施加力F，那么弹簧k1和k2的变形分别为

式中，k1和k2是弹簧的刚度，单位是N/m；l1是弹簧k1的变形量，单位是m；l2是弹簧k2的变形量，单位是m。

因为弹簧串联，所以弹簧的总变形ls为

根据式（1-15）得到串联弹簧等效刚度ks的表达式为

下面推导图1-13中并联弹簧的等效刚度。对振子施加外力F，振子由力F引起的位移为lp。当振子平衡时，外力F等于弹簧k1和k2的弹性力合力

所以，并联弹簧等效刚度kp的表达式为

根据式（1-16）和式（1-18）可以知道，串联弹簧的等效刚度比其中任何一个弹簧的刚度都要小；并联弹簧的等效刚度为所有弹簧刚度之和。

2.弹性力做功

弹簧的弹性力随振子位移的变化如图1-14所示。设振子的运动为简谐振动，振子位移响应x(t)的表达式为

式中，X是振子位移响应的振幅，单位为m；ω是振动频率，单位为rad/s；α是振动的初相位，单位为rad。

振子的速度响应(t)为

弹簧在一个振动周期内做的功为

式中，k是弹簧的刚度，单位是N/m。

将式（1-19）和式（1-20）代入式（1-21），得到

式（1-22）说明弹簧的弹性力在系统一个振动周期内做的功为0，说明弹性力在系统振动时是储能单元，没有耗散振动能量的能力。

1.4.3 黏性阻尼

1.阻尼力做功

阻尼是振动系统中的耗能单元，典型黏性流体阻尼器的结构如图1-15所示。当阻尼器A、B两端存在速度差时，活塞会相对阻尼器缸体发生位移，阻尼器内的黏性流体就会通过活塞孔在阻尼缸内流动。黏性流体流过活塞孔时会产生黏性阻尼力，系统通过阻尼器提供的黏性阻尼力耗散系统的振动能量。

黏性阻尼力Fc的幅值和活塞相对阻尼缸的速度(t)成正比，方向和速度相反，有

式中，c是黏性阻尼的阻尼系数，单位为N·s/m。

将式（1-20）代入式（1-23），得到黏性阻尼力的表达式，

根据式（1-19）和式（1-24），可知

根据式（1-25）可以知道，系统振动时黏性阻尼器两端的位移和阻尼力围成的曲线是长短轴都在坐标轴上的椭圆。阻尼是系统抑制振动并使系统恢复为静止状态的能力，系统的恢复力F等于阻尼力Fc，这种由位移X和恢复力F围成的曲线叫作滞回曲线。黏性阻尼的滞回曲线如图1-16所示。

图1-16中，滞回曲线包络的面积Ec为

黏性阻尼力在一个振动周期内做的功Wc为

将式（1-20）代入式（1-27），得到黏性阻尼力在一个振动周期内做的功

通过式（1-28）可以看出，黏性阻尼力在系统一个振动周期内做的功为负功，说明系统发生振动时，黏性阻尼可以消耗振动的能量。对比式（1-26）和式（1-28）可以知道，滞回曲线包络的面积就是黏性阻尼力在一个振动周期内耗散的能量。滞回曲线包络的面积越大，说明阻尼消耗振动能量的能力越强。

2.等效黏性阻尼

在实际工程中，阻尼的形式非常复杂，很难用简单的数学公式表示阻尼力的变化规律，所以工程上为了便于计算和分析，经常将复杂阻尼等效为黏性阻尼。等效原理是将复杂阻尼在一个振动周期内做的功等效为黏性阻尼在同一周期内耗散的能量。

假设复杂阻尼系统处于简谐激励下的稳态振动，则复杂阻尼在一个振动周期内耗散的能量Eq等于等效黏性阻尼在相同周期内耗散的能量Ec。黏性阻尼在一个振动周期内耗散的能量就是黏性阻尼力在一个振动周期内所做的功Wc。所以等效黏性阻尼在一个振动周期内耗散的能量Eq是

等效黏性阻尼系数cq可以表示为

1.4.4 结构阻尼

1.结构阻尼复刚度模型

图1-17所示是一种利用黏弹性阻尼材料变形消耗振动能量的阻尼器。当外力作用于阻尼器使阻尼材料发生剪切变形时，阻尼材料内部分子之间会发生摩擦，振动系统正是利用这种分子间的摩擦耗散系统的振动能量。

将这种以阻尼材料内部分子摩擦方式耗散振动能量的阻尼称为结构阻尼，橡胶就是典型的结构阻尼材料，其应力-应变关系可以表示为

式中，σ(t)是阻尼材料的应力；E是阻尼材料的弹性模量；ε(t)是应变。

当系统输入为稳态简谐激励时，假设

式中，ε0是应变的振幅；e是自然常数；ω是激励频率；α是应力和应变的相位差；j=。

由于结构阻尼材料的应力和应变之间有相位差，当简谐激励使阻尼材料产生拉伸变形时，拉伸应力的变化规律为

式中，σ0是应力的振幅。

将式（1-32）和式（1-33）代入式（1-31），得到弹性模量的表达式为

式中，弹性模量E*是复模量。

定义储能弹性模量E′为

定义耗能弹性模量E″为

所以复模量E*可以表示为

因为弹性模量和剪切模量之间存在关系

式中，θ是泊松比。

将式（1-37）代入式（1-38）并整理，得到复剪切模量的表达式，为

式中，G′是储能剪切模量；G″是耗能剪切模量。

结构阻尼器通常利用阻尼材料的剪切变形提供阻尼力。由剪切变形引起的剪应力τ(t)和剪应变υ(t)的表达式为

式中，f(t)是激励；x(t)是阻尼材料在激励f(t)作用下产生的剪切变形；S和L分别是阻尼器中阻尼材料的面积和厚度。

根据刚度的定义可以知道，阻尼器的刚度k*是激励和阻尼材料变形的比值

由应力-应变关系，有

将式（1-43）代入式（1-42），得

将式（1-44）中的刚度k*定义为结构阻尼的复刚度。将复刚度的实部k′=SG′/L称为结构阻尼的储能刚度，复刚度的虚部k″=SG″/L称为结构阻尼的耗能刚度。将复刚度表示为

式（1-45）就是结构阻尼的数学模型。

2.结构阻尼材料损耗因子

定义结构阻尼材料的材料损耗因子β为

则复模量E*可以表示为

同时复剪切模量G*也可以表示为

其中，材料损耗因子β为

当单位体积的阻尼材料发生剪切变形时，其一个周期内的弹性应变能Wu为

阻尼材料在一个周期内的阻尼应变能Wd为

整理式（1-50）和式（1-51），得到储能剪切模量和耗能剪切模量的表达式为

将式（1-52）和式（1-53）代入式（1-49），得到材料损耗因子β和应变能的关系

所以，材料损耗因子的物理意义是，在一个振动周期内，阻尼消耗的能量与最大弹性势能的比值。也就是说，材料损耗因子越大，则该阻尼材料的耗能能力越强。

当阻尼器产生变形时，阻尼力fg(t)的表达式为

从式（1-55）中可以看出，阻尼器的反力包含弹性力和阻尼力，说明阻尼器在耗散振动能量的同时还提供支承系统的刚度。所以结构阻尼是一种同时具备弹性和黏性的阻尼模型，其滞回曲线是一个倾斜的椭圆，如图1-18所示。

由式（1-44）和式（1-54）可知，影响结构阻尼器耗能效果的参数为阻尼材料的面积S、厚度L和材料损耗因子β。在材料损耗因子不变的条件下，增大阻尼材料的面积或减小阻尼材料的厚度都可以增大阻尼力。因为阻尼材料通常为固定厚度的橡胶层，所以工程中经常以增大阻尼材料面积的方式增大阻尼器的阻尼力。