1.2 振动的基本概念

1.2.1 简谐振动

振动是物体围绕其平衡位置的往复运动。如果描述振动的物理量是力、位移、加速度等力学量或机械量，那么这类振动则称为机械振动。研究结构在动力荷载作用下振动问题的学科称为结构动力学。

如图1-1所示，将沙漏横向拉起一定角度后释放，沙漏会在重力作用下以悬挂点的铅垂线为中心自由摆动（横摆）。如果在沙漏横摆时将木板从沙漏下匀速抽出，那么沙漏在木板上留下的沙子形状就是正弦曲线（近似），沙漏绕静平衡位置的往复运动就是简谐振动。在数学上经常使用正弦函数或余弦函数描述质点或结构的简谐振动。

如图1-2所示，电动机转子的质心有偏心现象。当电动机匀速转动时，转子的质心围绕电动机的几何中心做匀速圆周运动，转子质心在竖直方向的位移x(t)随时间t变化的曲线就是正弦曲线。所以从图1-2中不难看出，转子做匀速圆周运动产生的振动也是简谐振动。

如果将沙漏和电动机的质心统一简化为质点，将质点的位移投影到坐标轴上，用正弦函数表示图1-1和图1-2中质点的运动规律，那么质点的位移随时间变化的表达式可以写为

式中，x(t)是质点随时间变化的响应，单位为m；X是质点振动的振幅，单位为m；ω是圆频率，单位为rad/s；α是初相位，单位为rad。

圆频率ω和频率f的关系是

式中，f是频率，单位是Hz。

因为圆频率ω和频率f的意义相同，所以后续章节中将ω也称为频率。将质点在同一位置重复出现的最小时间间隔定义为周期。周期T和频率f的关系是

式中，周期T的单位是s。由式（1-3）可以知道，频率的意义是1s内振动重复的次数。

1.2.2 输入与输出

将振动的研究对象统一定义为系统。系统可以是基本元件，或由基本元件组成的部件，也可以是完整的机械设备。将外界对系统的激励定义为系统的输入。将系统在外激励作用下产生的响应定义为系统的输出，如图1-3所示。

系统的输入可以是力、位移或加速度，输出可以是位移、速度、加速度或噪声。因为正弦函数经过积分或微分后的结果仍然是正弦函数或余弦函数，所以在研究系统的动力学特性时经常采用简谐激励作为系统的输入。

1.2.3 广义坐标

在任意时刻描述系统空间位置的独立坐标称为广义坐标。如图1-4所示的双摆系统，双摆的位置可以由坐标（x1，y1）和（x2，y2)表示。

根据勾股定理可以得到坐标x1和y1的关系

式中，L1是图1-4中顶端单摆的长度，单位是m。

同理，坐标x2和y2满足

式中，L2是图1-4中底端单摆的长度，单位是m。

将x1，y1表示为L1和θ1的函数

式中，θ1是图1-4中顶端单摆和竖直方向的夹角，单位为rad。

将x2和y2表示为L1、L2和θ1、θ2的函数

其中，θ2是图1-4中底端单摆和竖直方向的夹角，单位为rad。

从式（1-6）和式（1-7）中可以知道，双摆的位置可以由常量L1、L2和角度坐标θ1、θ2确定。所以描述双摆系统空间位置的独立坐标只有两个，独立的角度坐标θ1和θ2就是双摆系统的广义坐标。

1.2.4 自由度

描述系统空间位置的广义坐标可以是平动的位移，也可以是转动的角度，如图1-5所示。在图1-5中，轮盘的位置需要由旋转方向的广义坐标θ1和θ2表示，振子的位置需要由平动方向的广义坐标x1和x2表示。在任意时刻确定一个系统空间位置需要的广义坐标个数称为系统的自由度。所以图1-5中轮盘系统（左图）和弹簧-振子系统（右图）的自由度都是2。

在实际工程中，平动方向的共振比较常见，但是除了平动方向的共振还有扭转方向的共振，将系统在扭转方向上的共振称为扭振。扭振的原因是作用于转轴上的主动力矩与负载力矩之间失去平衡，从而导致转轴上合成扭矩的方向反复变化。扭振是增加转轴疲劳损伤，降低使用寿命的重要原因。扭振的测试方法和平动方向的模态试验方法有所区别，本书主要介绍平动方向的模态试验方法。

1.2.5 分析方法

分析系统动力学特性的方法可以归纳为三类。

1.已知激励和系统，求响应

该类方法称为动力响应分析，分析方法是根据已知的激励和系统参数预测系统的响应。动力响应分析是正向分析过程。

2.已知激励和响应，求系统

该类方法称为系统参数辨识，辨识方法是通过激励系统并采集系统的响应来获取系统的动力学参数。系统参数辨识是逆向分析过程。

3.已知系统和响应，求激励

该类方法称为系统载荷识别，计算方法是基于已知的系统参数和响应反推系统所承受的载荷。该类方法在工程上称为传递路径分析。

目前工程设计单位大多采用从产品模型设计到模型仿真计算，然后进行实物样机试验的设计流程。通常仿真模型的计算结果和实物样机的试验结果之间会有比较大的差别。导致数据之间存在差异的原因有很多，比如：

·用于计算的仿真模型与实物样机的动力学参数不同。

·仿真计算使用的边界条件与实物样机边界条件不同。

·实物样机加工误差造成样机的参数与设计参数不符。

当仿真模型和实物样机的动力学参数有差别时，可以通过样机的试验结果来修正仿真模型，使仿真模型的参数最大限度地接近实物样机。首先可以根据试验获取的激励和响应识别实物样机的动力学参数，然后基于实物样机的动力学参数修正仿真模型，如图1-6所示。

将系统在实际工况中承受的载荷施加于修正后的仿真模型就可以预测系统的响应是否满足设计要求。模型仿真为正向分析过程，实物试验为逆向分析过程。

将获取系统的固有频率、阻尼比和振型的试验称为模态试验。对于模态试验来说，系统的动力学参数是未知的，模态试验的目的就是获取这些系统参数。

因为大型结构的仿真模型通常比较复杂，所以在设计过程中需要对仿真模型进行多轮修正。一般将模态试验结果修正仿真模型的流程分为三轮，如图1-7所示。

1) 基于实物部件的模态试验结果修正部件的仿真模型。

2) 当部件的仿真模型被修正完成后，将实物部件连接为子系统样机，并对其进行模态试验，目的是修正部件模型间的连接条件。

3) 最后验证整机模型的边界条件。

使用通过模态试验获取的系统参数来修正仿真模型，是目前模态试验最主要的作用。所以本书主要介绍通过系统输入和输出辨识系统模态参数的模态试验方法。