1.2 基于子空间法的多变量过程辨识研究
关于基于子空间法的过程辨识研究的历史发展，许多文献都有阐述。不妨按照时间的历史发展顺序简单归纳如下。
1978年，Kung提出了子空间辨识方法[61]。1985年，Juang和Pappa将子空间辨识方法用于结构模型参数辨识[62]。1989年，Moonen等人[63]和1990年Arun等人[64]，对确定性系统和存在扰动的系统通过构建输入输出的Hankel矩阵计算状态空间模型。1990年，Larimore提出范量分析子空间辨识（Canonical Variate Analy-sis，CVA）法[65]；1994年，Verhaegen提出多变量输出误差状态空间子空间辨识（Multivariable Output Error State Spac，MOESP）法[66]；同年，Van Overschee和De Moor提出了数值状态空间子空间辨识（Numerical Subspace State-Space System Identificati，N4SID）法[67]，这三种算法在子空间辨识算法中起到了基石的作用。CVA方法的基本思路是利用过去的状态去估计未来的状态，通过极小化所给定的范数指标来构造相应的辨识算法。Verhaege等人提出的MOESP子空间辨识算法是利用已测得的输入输出数据来构造出特定的汉克尔（Hankel）矩阵，然后通过QR分解进行数据压缩，给出系统的广义可观性矩阵的一致估计，最后利用广义可观测矩阵求解系统的状态空间模型。Van Overschee和De Moor的N4 SID法是使用线性回归法求解系统矩阵，基于几何概念的方法实现了预测误差极小化，它是一种具有秩约束的多步预报误差法。虽然这三种算法在计算系统矩阵方面各有不相同，但是，WouterFavoreel等认为这三种方法是分别取不同权矩阵的结果，可以在一定框架下得到统一[68]。在子空间辨识的研究发展中，已出现三本经典著作：1996年VanOverschee和De Moor[69]出版的Subspace Identification of Linear Systems，2005年Tohru Katayama出版的Subspace Methods for System Identification[70]，2008年Biao Huang[71]出版的Dynamic Modeling，Predictive Control and Perfomance—A Data-driv-en Subspace Approach。在这些理论研究成果上，2002年Wang和Qin提出了基于主元分析方法的子空间辨识[72]；2005年Huang等人提出了基于正交投影的子空间辨识方法[73]；Gustafsson[74]、Jansson[75]、Ljung[76]、Bauer[77]等人在子空间辨识算法的收敛性、有效性等方面进行了研究。
子空间辨识方法是基于状态方程模型的，而状态方程模型恰好是最适于表达多变量过程的模型。所以，子空间辨识方法自然是既适用于单变量过程辨识又适用于多变量过程辨识。
子空间辨识方法是针对开环过程辨识提出的，所以和最小二乘辨识方法一样，只适用于输入与噪声不相关的过程辨识。因此，针对闭环过程辨识的子空间辨识方法就成了一个很大的研究热点。尽管已有不少方法被提出，例如套用最小二乘辨识理论研究思路，采用化闭环为开环的两阶段法，但是都使问题复杂化了，对于多变量过程辨识，计算量激增，几乎没有工程实用性。
子空间辨识方法（Subspace Identification Method，SIM）是一种基于状态空间方程模型的多变量系统的辨识新方法。SIM方法综合了系统理论、线性代数和统计学三方面的思想。与传统辨识方法相比，SIM的突出优势在于：①不需要像最小二乘辨识时将模型参数整理成辨识参数的参数化过程，可直接由输入输出数据来构造增广可观测矩阵，再经过一系列矩阵运算得到状态空间模型；②没有迭代寻优求解过程，所以也无需考虑所谓的收敛性和稳定性问题；③不需要考虑状态初始条件，所以没有其他辨识方法必须考虑的零初始条件问题；④不需要系统的先验知识，而且系统模型阶次能够在系统辨识计算中由可观测矩阵的非零奇异值来决定，换句话说，用SIM可同时辨识模型结构和参数。
与传统辨识方法相比，SIM也有它的劣势：①和最小二乘辨识一样，是一种开环辨识方法；②是一种有偏辨识的次优方法；③不需要系统的先验知识，意味着即便有可用的系统先验信息也很难利用；④因为SIM包含正交三角（QR）分解和奇异值（SVD）分解，所以有大量的数值运算，特别是在多变量辨识、用高维模型和实施在线辨识时，计算负担将成为必须考虑的问题。
子空间辨识方法的理论研究进展也促进了子空间辨识方法的工程应用研究。在20世纪90年代中期，美国国家航空航天研究中心，美国麻省理工学院与埃默里大学等，合作开展了飞机发动机结构的子空间辨识，通过对F18系统柔性动力特性的辨识研究，寻求最优的控制规律，设计最优的控制器。德国宇航局也通过引入子空间辨识方法对发动机性能进行了研究。比利时鲁汶大学的Moor，瑞典林克平大学的Mckelevey，瑞典皇家工学院的Jasson，查尔姆斯理工大学的Gustafsson等都在这一领域做了大量的相关研究。
在国内，子空间辨识方法的工程应用研究也取得了一些进展。可以归纳为两方面的工程应用，一方面是专用于预测控制的子空间辨识应用研究；另一方面是针对闭环多变量工业过程控制的子空间辨识应用研究。
预测控制技术已在大型复杂工业过程控制领域得到较广泛的应用，但是预测控制的成功实施依赖于过程模型的较准确的建立。子空间辨识方法的优良特性正好有望解决多变量过程预测控制所需要的建模问题。用子空间方法不需要任何模型结构与系统阶次等先验知识，可以直接利用一段滚动时间窗口的实测过程输入输出数据构造Hankel矩阵，然后通过QR分解等矩阵运算得到过程状态方程模型，根据已得模型就即推算出预测控制器。更超前的思路是建模和控制器设计的两步并作一步，直接得到预测控制器，为此已有多个研究进展。2007年，杨华[92]进行了基于子空间方法的系统辨识及预测控制设计的研究。2008年，李经吴[94]对子空间预测控制及其在CFB锅炉燃烧系统进行了研究，以子空间辨识为基础，推出了子空间预测控制的概念及其基本算法，提出了具有比例结构的子空间预测控制算法。2009年，曾九孙[93]研究了子空间辨识方法用于高炉冶炼过程多变量预测控制系统的问题。2011年，吴永玲[84]提出了一种具有反馈校正的时变遗忘因子的子空间辨识方法，根据测量输出与预测输出值的误差来动态调整历史数据的权重，可以更好地反映系统的当前特性，提高了辨识的精度和灵敏度。2019年，斛亚旭[91]进行了基于子空间辨识的SNCR脱硝系统的多模型预测控制研究。2019年，葛连明[90]进行了子空间辨识算法及预测控制研究。
针对闭环多变量工业过程控制的子空间辨识应用研究也有一些进展。2008年，刘浩[83]在二入三出的直流锅炉控制系统上尝试应用了子空间辨识方法。用AIC准则确定模型阶数，通过仿真实验证实子空间辨识方法有效。不过，辨识出的模型是有差的，并且是零点的误差大于极点的误差。2012年黄宇[86]在二入二出的机炉协调控制系统上试用了子空间辨识方法，再一次证实了子空间辨识方法是次优的有差方法，并且辨识精度没有量子粒子群（QPSO）辨识方法高，还提出可以先用子空间辨识方法辨识出过程粗模型再用量子粒子群辨识方法进行精确辨识的两阶段辨识方案。2013年，杨春[87]在三入三出的回转窑窑温控制系统上试用了基于主成分分析的子空间辨识方法，也是用AIC准则确定模型阶数。通过仿真试验证明，基于主成分分析的子空间辨识方法比经典的子空间辨识方法有明显的优势。2017年，包春喜[84]在二入二出的机炉协调控制系统上试用了引入辅助变量和主元分析的子空间辨识方法，仿真试验证明方法有效，但用现场数据建模的效果并不理想。2018年，庄旭[89]在抽水蓄能电机控制系统上用了相关函数子子空间辨识方法，采用相关函数方法进行子空间辨识算法的改进，可以实现闭环条件下对线性系统的无偏估计，建立基于扩展卡尔曼滤波器抽水蓄能电机模型，构建模型协同工作循环辨识算法，并采用分块Hankel矩阵的子空间辨识算法，实现系统参数矩阵的有效辨识。
虽然子空间辨识方法得到很多的关注，子空间辨识方法理论证明正确，仿真实验证实有效，但是子空间辨识方法成功应用于实际工业过程的案例几乎没有，这一点和最小二乘辨识方法的应用效果很相似。由于子空间辨识方法并不是按照最优化方法导出的，所得辨识结果就无法证明是最优解，这或许是人们推广应用子空间辨识方法的兴趣不高的原因之一。