善用几何直观，剖析图形内在规律
——“整体与部分”教学案例分析

上海市杨浦区打虎山路第一小学　林家卉　张慧

课前慎思

一、教材分析

“整体与部分”是九年义务教育课本《数学·三年级第二学期（试用本）》第四单元“分数的初步认识（一）”中的教学内容。对一个整体进行等分，取其中的几份，可以用分数表示。小学阶段主要是引导学生理解用分数表示“整体与部分”之间的关系，因此在学习有关分数知识前，有必要先进行有关“整体与部分”之间一般关系的学习。教材通过连续量模型，例如，蛋糕和比萨圆形模型、绳子和纸带线形模型，过渡到离散量模型，更符合学生的认知特点，了解这几种常见模型整体与部分的关系是本节课的重点内容。

二、学情分析

三年级学生对于“整体与部分”的关系已经具备一定的生活经验，但由于仍处于形象思维阶段，因此对离散量模型中整体与部分的关系的判断存在一定的困难，需要借助具体直观的模型来帮助学生认识分数的初步概念。在整体与部分相对性的理解上，学生一般还缺乏感悟和认知。

三、我的思考

（1）教材在这一课时只提供了饼图、线型图、天鹅图三个素材，如何在学生已有的认知水平上，丰富教学资源和完善学生的认知结构呢？

（2）“整体与部分”是上海市二期课改时编入“分数初步认识”中的，用意是什么呢？与教材后几课时（几分之一、几分之几）的联系在哪里？

（3）关注整体与部分的关系及相对性抽象的特点，如何将几何直观渗透在教学中并进行合理图形直观操作，以发展学生的空间观念？

教学目标与教学重点、难点

教学目标：

（1）初步认识整体与部分之间的关系。

（2）初步体会整体和部分是相对的。

（3）在动手尝试和交流中，体验学习数学的乐趣，感受集体与个人的依存关系，体会数学与生活的联系。

教学重点：

认识几种常用的分数模型。

教学难点：

体会整体和部分是相对的。

教学片段及分析

教学片段一：单一分类标准下的整体与部分

（1）通过盲人摸象的故事，学生已经对整体与部分的关系有了一些了解。通过下面的例子，让学生加深对整体与部分的理解。小亚家有一只黑狗妈妈，生了3只狗宝宝。小亚给它们准备了一块牛肉饼，如果把这块牛肉饼作为一个整体，你能分一分并用下面这句话来说一说吗？

出示：把（　　）看成一个整体，（　　）是（　　）的部分。

（2）学生尝试分牛肉饼（牛肉饼用圆形纸片代替）。

（3）大组交流。

（4）评价：同学们动手尝试之后有了不同的分法，还在交流中分享了自己的牛肉饼模型的整体与部分，非常棒！

分析一：

本堂课笔者设计了连续的教学情境，如“给狗狗分牛肉饼”“寄养狗”等，贯穿在整个新知识的教学中，让学生层层深入地体会整体与部分的关系。在分数教学阶段常用连续量模型和离散量模型，对学生而言，连续量模型中的圆形模型更容易理解，因此在教学之初出示第一个子情境“小亚给狗狗们准备了一块牛肉饼”，让学生思考“如果把这块牛肉饼作为整体，通过动手分一分，说一说哪里是它的部分？”课堂上可能会出现任意分和平均分的情况，无论是任意分还是平均分，得到的每一份都是原来牛肉饼这一整体的一部分，让学生对整体与部分的关系形成直观的了解，也为后续在多元分类标准下探究整体与部分的关系打下基础。

在该环节，将故事情境中的牛肉饼进行抽象，利用对牛肉饼的描述和几何直观来分析问题。将牛肉饼抽象为一个圆形纸片实物，来解决“把一个圆形纸片分一分，哪里是它的部分？”这一问题。学生通过图形可视化，经历“观察—思考—操作—表达”这个过程，圆形纸片在学生的探索中慢慢被拆分，学生脑海中也正通过数形结合的形式建构起对整体与部分关系的初步印象，在空间观念上升的同时，动手能力和思维能力也得到提升。

教学片段二：多元分类标准下的整体与部分

（1）离散量模型——一只大黑狗、一只小黑狗、两只小白狗。

①我们学会了把牛肉饼（模型）分一分，知道了牛肉饼整体与部分的关系，再来看看下面这4只可爱的狗狗，说一说，可以把什么看作整体，什么是它的部分。

②学生汇报交流（按大小分、按颜色分、任意分……）

③评价：听了大家的分享，同学们分类的标准都各不相同，你们有自己的想法和见解，为你们敢于思考、敢于表达点赞！

（2）线型模型——路段。

①还记得刚才那4只可爱的狗狗吗？因为小亚要出远门，所以需要把小狗寄养在小胖家里，从小亚家到小胖家会经过小巧家（见图1-7）。

②想一想：如果把小亚家到小巧家的路段看作一个部分，你能根据图片说一说哪段是整体吗？

③借助线段图进行分析。

介绍：路段可以用简洁的线段图（见图1-8）来表示。

④思考：如果把线段AC看作整体，那么什么是它的部分呢？

⑤学生分组交流、汇报。

分析二：

通过线型模型的实例，建立连续量模型和离散量模型之间的联系，帮助学生完善分数的初步概念。同时，教学中还穿插“从部分到整体”的逆向思维过程，帮助学生更全面地认识整体和部分的关系。

为了更好地进行情境教学，笔者将狗的颜色和大小进行了精心设计，在学生尝试的过程中能够结合低年级学习的圈一圈分类的方法进行整体与部分的思考和多元标准的分类思考，并在“为了寄养狗，从小亚家走到小胖家”这一生活情境下，巧妙运用数学的眼光来分析问题。借助几何直观，将复杂的数学问题变得简明、形象，并将生活中的路线进行抽象、可视化，转变为数学问题，利用简洁的线段图来思考。

直观是抽象思维问题的源泉，几何是数形结合的基础。通过线型模型将小亚到小胖家的一整段路程这一连续量，理解为2段“离散”的路段（小亚家到小巧家、小巧家到小胖家），从具象到抽象，从解决生活问题到解决数学问题，形式的转变更是对学生能力的提升，为学习分数的初步概念搭建起桥梁。借助三个模型的连贯呈现，帮助学生层层递进地吸收内化新知识，使学生初步了解整体与部分的关系。

教学片段三：对比思辨，感知整体与部分的相对性

1．感知整体与部分的相对性

（1）出示中国地图。

①刚才我们从不同的角度分析了整体与部分的关系，在下面这个短片里又可以把什么看作整体，什么是它的部分呢？

②播放短片：中国地图—点亮上海部分—放大上海—点亮杨浦区—放大杨浦区—点亮打一小学……

③追问：如果把打一小学作为整体，什么又是它的部分呢？

④交流反馈：操场、教室、班级、男女生、个体……

⑤出示：中队标志及学生集体照。

⑥思考：关于整体与部分，从图中你又得到了怎样的关系？

⑦评价：把班集体（小蜜蜂中队）看作一个整体，每一个同学都是它的部分。同学们真会观察，发现了这么多整体与部分的关系，我们都是班集体的一员，更是一名打一人、中国人。

（2）出示对比图。（播放视频）

①思考：为什么杨浦区有时是整体？有时是部分？

②发现：杨浦区相对上海是部分，杨浦区相对打一小学是整体。

2．理解整体与部分的相对性

出示圆形的整体与部分。

①带着刚才的问题，我们回到牛肉饼中继续探究（见图1-9）。

②思考：结合这两幅图，半圆形图形有时是部分，有时是整体，这是为什么呢？

③小组讨论，交流反馈。

④小结：通过刚才的探究，我们发现同样一个地区，划分不同时，有时表示为整体，有时表示为部分；同一个图形，在不同的情况下，有时表示为整体，有时表示为部分。可见，整体和部分是相对的。

分析三：

“整体与部分的相对性”是本节课的难点，需要教师利用生活中的实例帮助学生理解。在设计该环节时层层递进，让学生先感知再理解，通过思考过程中的疑惑，带着问题继续探索，更能激发学生探究的欲望。

在教学中出示“上海—杨浦—打一小学”的连续动画，清晰直观地让学生感受到整体与部分层层递进的关系。由平面的一维到空间的三维，这是学生对整体与部分关系理解的一次重要飞跃。借助生活经验、已有的认知及动画呈现，学生逐步在脑海中形成几何架构，有助于空间观念的形成，同时加深对整体与部分关系的理解。

与此同时，引导学生体会班级是学校的一部分，每一个学生都是班集体的一部分，认识到个人和集体相互依存的关系，培养学生的集体意识和责任感，体现学科育人的价值。在这个环节要引导学生多表达，主动感知。由生活中整体与部分相对性现象过渡到抽象几何图形中整体与部分相对性的呈现，符合学生的认知水平，有利于提高他们的逻辑思维能力。

教学片段四：游戏活动，体验生活中的整体与部分

（1）过渡：生活中存在许多整体与部分的关系，之前学习的小狗、牛肉饼和地区都是生活中的例子，除此之外，你们还能列举一些其他的例子吗？

（2）在汉字中也有整体与部分的关系，下面我们就来玩一个猜字的游戏吧。

①课件出示：立、里。

猜一猜：这两个字都是某一个字的部分，他们的整体是哪个字呢？（童）

②课件出示：巾、立、里。

猜一猜：多了“巾”，现在能够拼成什么字呢？（幢）

表达：这里整体与部分的关系，你能说一说吗？

思考：开动脑筋，在“立”和“里”的基础上，除了加“巾”外，还能加一个什么部分，这样又能拼成什么字呢？

总结：通过仔细观察和思考，我们发现整体与部分无处不在。

分析四：

这一片段既是对学生重点的巩固，也是对难点的再突破。当理解概念后，让学生在生活中继续寻找整体与部分的关系。学生在课堂中交流之后，理解了不仅在生活和数学中有整体与部分关系，汉字中也有整体与部分关系。通过有趣的猜字游戏，可调动学生的学习积极性。对于学生来说，汉字的拆分和重组是对整体与部分关系的再梳理，通过观察和分析，学生能够根据汉字的特点，主动剖析汉字的结构，即其中整体与部分的关系，进而脱离现实的直观背景，想象出新组合而成的汉字的模样和各部分的关系，逐步借助空间想象来解决问题，从而对整体与部分的相对性有更进一步的理解。与此同时，使学生在无形中感受到了汉字的美，体会到了数学的乐趣。对学生来说，文字是抽象的，感知是具象的，只有经历了探究思辨的过程，才能更具智慧。

课后思考

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调，数学教学要“从学生已有的生活经验出发，使学生获得对数学知识的理解”。整体与部分关系的认识过程是学生从感知直观到逻辑抽象的过渡，在数学方面的体现是逻辑关系，是小学儿童掌握数学概念的一个重要环节，因此学生需要借助几何直观以形成自我建构，探究图形的内在规律和关系。

在数学课堂中，笔者创设故事化情境并贯穿于整个教学环节，在任务驱动下探究整体与部分的关系，通过引导学生动手分一分，再说一说，经历操作直观感知，进而进行思辨论证，培养学生的几何直观感，加深对整体与部分关系的理解。

一、尊重学生想法，打破思维定式

由于学生的个体差异，对整体与部分关系的认知过程存在不均衡的现象，在数学教学中应考虑到学生的差异性，不能“一刀切”，由具体、表象到概念，是一个螺旋上升的过程，应打破学生的思维定式，开拓学生的发散思维，鼓励学生多表达、多思考。

在多次试教和最后的课堂呈现中，大部分学生受到生活经验或已有知识的影响，在分圆形纸片时都将其对折再对折，以分出完全相同的四块，即平均分。在巡视的过程中，笔者还是发现少数同学能够想到将圆形纸片不平均地分，但理由各不相同。学生能够从不同角度去思考问题，这对他们来说是非常宝贵的。

三年级的学生正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，也是想法云集的阶段，我们需要引导学生多表达自己的想法，尊重他们思考的结果，打破思维定式，让他们感受到数学是生活的数学，数学是“活”的数学。

二、感受空间几何，数形搭建桥梁

“数无形不直观，形无数难入微”，数字与几何是紧密相连的。在培养空间观念的同时，我们需要善用几何进行直观教学，将整体与部分的关系辐射到生活、数学中，并逐步将较难理解的“整体与部分是相对的”呈现在学生面前。通过几何直观的渗透，在动手实践和思维碰撞后，加深学生对概念的理解。

从一维到三维空间上整体与部分关系的转变，有数形结合帮助搭建桥梁，学生能够流畅地感受空间几何，巧妙地将整体与部分的关系与空间形式结合起来，当询问“还能举出哪些生活中整体与部分的实例？”时，学生能够主动运用空间图形举出实例，例如“把学校看作是整体，操场是它的部分”“把宇宙看作是整体，地球是它的部分”等。

通过教学实践发现，在课堂中注重空间观念的培养，学生的思考是深入的，想法是无穷的，思维更是活跃的。图形的内在规律需要学生去探索和发现，空间观念需要教师的引导和培养，久而久之，在“活”课堂中学生将由建立表象、再造想象到创造想象，逐步向高阶思维推进，提升数学学科素养。

三、倾听课堂表达，活用课堂生成

课堂是富有生机和活力的，是充满思维碰撞的。学生不同、老师不同，课堂也因此千变万化，各具特色。本节课重在表达，通过交流分享来体会整体与部分的关系。在多次试教过程中，笔者发现学生的课堂生成是多种多样的。第一次试教时，学生不可控的侃侃而谈、天马行空，让笔者感受到了学生眼中整体与部分的关系丰富多彩。还记得导师对笔者第一次试教的评价：“学生的课堂生成很有趣，但是比较‘散’，此时教师的引导很重要。其中‘散’在于渐渐偏离主题，学生的交流慢慢从观察生活中的整体与部分转变为谁讲的例子更有趣，此时要引导学生表达方向的是教师，我们需要用机智和巧妙的语言来扭转局势。”

另外，每一个课堂生成都是一个即时教学资源。认真倾听每个学生的课堂表达有助于对其进行有针对性的评价。课堂中一个学生列举的整体与部分关系的例子都令笔者印象深刻。例如，有同学说：“把泥土看作整体，草是它的部分。”听到这个例子时，笔者有一些停顿，之后做出的反应是让学生再思考一下。课堂结束后，笔者发现这是一个很好的教学生成，若在课堂上让学生进一步深入探讨，让学生进行纠正或多问一个为什么（为什么不太对？如何说更好？），相信对学生来说会有更进一步的提升。

作为教师，把握并恰当选取合适的即时教学生成对教师来说也是一种历练和挑战，需要实践出真知，更需要不断积累。数学课堂因学生的互动而充满活力，因教师的教育机智而充满智慧，相信通过五育融合、核心素养的渗透和数学思想的运用，有趣教学也定能走到孩子们的心中去