五 科学的数学化趋势：数学是科学的灯塔

数学最大的特点是：高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性以及纯净美。在大规模学科分类之前，很多数学家也是哲学家。数学哲学的基本目标是解释数学，并由此说明数学在整个理性事业中的地位。多数思想家都同意基本的数学命题享有高度的确定性和逻辑的本质性。

学科越是抽象，就越是充满数学。数学是描述关系及其逻辑发展最合适的工具。物理学家不是用数学来描述实验事实，而是用数学处理这些事实之间的关系。伽利略曾说过：“宇宙这部鸿篇巨制，是用数学的语言写成的。”

伽利略认为，科学必须寻求数学描述，而不是物理解释。数学研究的主要目的是得到更多的自然界定律，更深入地了解自然设计的真相。17世纪时，伽利略、笛卡儿、牛顿和莱布尼茨精心构造了一套数学的和物理的概念；整个科学思想借助于这些概念得到迅速发展。数学物理学诞生于天体力学，而天体力学在18世纪末产生并得到了全面发展。18世纪是数学和经典力学相结合的黄金时代，19世纪数学主要应用于电磁学，其中最具代表性的成就是麦克斯韦建立的电磁学方程组。进入20世纪以后，数学相继在相对论、量子力学以及基本粒子等理论物理学领域得到应用。

数学与物理虽然各成一统，但它们在科学发展史中总是与重要的历史节点相会，碰撞出令人炫目的智慧之光。自伽利略以来，物理学理论一直是用数学语言来表述的。数学同时从语言与内容两方面不断给我们对自然界结构的观念以强有力的影响。许多重要的数学思想皆来源于物理学的需要，这就是17—19世纪大多数数学家也是物理学家的缘故。从伽利略开始，数学就与物理紧密结合在一起。伽利略发现了惯性定律，并用数学关系精确表达了运动物体的距离与时间的关系。如果说伽利略用物理的思维方式探寻事物的根本规律，牛顿则用数学把伽利略的物理直觉完整地表达了出来，并且定量地应用了它们。

当科学变得越来越依赖数学来产生它的物理结论时，数学也变得越来越依赖科学的成果来证实自然过程的正确性。在法拉第和麦克斯韦的传承中，法拉第用自身的物理直觉抓住了电与磁的内在本质，麦克斯韦则用优美的数学公式将它定量地表达出来。法拉第这位一辈子都用语言描述实验现象的物理大师在看到年轻的麦克斯韦给他展示的简洁优美的数学公式时惊讶不已。1822年，法国数学家傅里叶的《热的解析理论》中以其对热传导问题的精湛处理，突破了牛顿在《自然哲学的数学原理》中规定的理论力学范围，开创了数学物理学的崭新领域。傅里叶在推导其著名的热传导方程时发现，解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷极数，这成为分析学在物理中应用最早的例证之一，对19世纪数学和理论物理的发展产生了深远影响。三角级数从此就直接叫傅里叶级数。

物理学家杨振宁先生曾谈到，一般来说，物理可以分成实验物理、唯象理论和理论架构三部分。平常所谓的实验物理其实是实验物理跟唯象理论加起来，统称实验物理。平常所谓的理论物理是唯象理论跟理论架构加起来，而这个理论架构最后是跟数学有很密切的关系。这些关系都是相互的。实验可以引导出唯象理论，唯象理论反过来也可以引导出实验。理论架构主要是指数学的运用。

唯象理论是借助于现象或直接从现象中得出的理论。开普勒三大定律就是唯象理论。后来牛顿以理论架构，用微分方程的方法和万有引力的物理概念，准确地解释了开普勒三大定律。牛顿的理论架构支配了物理学200多年。这是从实验物理到唯象理论，再到理论架构，最后到微分方程的一个物理和数学融合的精彩过程。

普朗克公式也是一个唯象理论，经过海森伯、狄拉克、玻尔等人的工作发展出来的量子力学，形成了理论架构。这个理论架构的基础是一些数学观念，叫希尔伯特空间。这是数学的基础。物理学的发展很多时候就是一个怎样从实验物理到唯象理论，再到理论架构，最后到微分方程的过程。

理论架构是由一些方程式，如牛顿的运动方程、麦克斯韦方程、爱因斯坦的狭义与广义相对论方程、狄拉克方程、海森伯方程以及其他一些方程组合在一起的，可以说是真正的包罗万象。这些方程式是造物者的诗篇，因为它们用非常浓缩的数学语言，把宇宙中包罗万象的物理现象准确地给大家描述了出来。物理学家理查德·费曼说：“我们所有的物理定律，每一条都由深奥的数学中的纯数学来叙述。为什么？我一点也不知道。”

被誉为数学界的亚历山大的德国数学家希尔伯特曾坚定地说：“凡服从于科学思维的一切知识，只要准备发展成一门理论，就必然要受公理方法的支配，受数学的支配。”“数学是一切关于自然现象的严格知识之基础。”

数学无疑是一种强有力的计算工具和抽象概念的语言，但它的作用比这还要大。爱因斯坦甚至宣称：“科学的创造原则属于数学。”如果数学不能告诉我们关于自然界的任何事实，那么它就确实不能。

数学与其他的自然科学和社会科学不一样，其他学科有非常具体的对象，而数学的对象十分抽象，甚至是抽象的抽象。数学之所以既能用到自然科学中，又能用到社会科学中，甚至还能用到人文科学中，就是因为它本身是抽象的，它的研究对象是一切抽象结构、所有可能的关系与形式。数学也是一门需要创造性的学科。在预测能被证明的内容时，和构思证明的方法一样，数学家们需要高度的直觉和想象。

就数学在科学领域的应用而言，它无疑是人类实现各门科学从观察到精确、从定性到定量的认识的基本方法和手段。因此，通过数学的应用程度就可以判定科学的精确性和完善性的程度。近代之初，甚至直到19世纪，数学在自然科学中的应用还只是局限于极少数的科学领域。正如恩格斯所言：“数学的应用，在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在液体力学中已经比较困难了；在物理学中多半是尝试性的和相对的；在化学中是最简单的一次方程式；在生物学中是零。”19世纪之前，在地质学和气象学中，数学的应用也接近于零。到了20世纪，数学日益渗透在各个自然科学的领域中，使科学的数学化正在成为当前自然科学发展的一种趋势。离开数学就不会有任何科学的发展与进步。

在从古代科学过渡到经典科学的过程中，世界图景的机械化意味着借助于经典力学的数学概念引入了一种对自然的描述：它标志着科学数学化的开始，这一过程在20世纪以越来越快的速度进行着。

今天，数学正在向一切学科渗透。计算机的本质就是数学，如今几乎所有领域都要使用计算机。数学的基础重要性体现在日常生活的方方面面，大数据时代更是让每个人都能体会到“万物皆数”。数学方法已渗透到和支配着自然科学的许多“理论”分支，能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法，已越来越成为现代经验科学中各个学科成功与否的主要标准。确实，整个自然科学一系列不可割断的相继现象的链都被打上了数学的标志，几乎和科学进步的理念是一致的。毫不夸张地说，正是由于有了数学，现代科学才取得了辉煌的成就。美国数学史家M·克莱因说：数学是科学的灯塔。