约公元前445年/芝诺悖论

芝诺（Zeno，约公元前490—约公元前430）

根据著名的芝诺悖论，如果乌龟在赛跑时先出发，则兔子永远无法超越乌龟。这个悖论似乎暗示了一个事实：它们都不能跨越终点线。

亚里士多德的轮子悖论（约公元前320年），发散的调和级数（约1350年），发现π的级数公式（约1500年），发明微积分（约1665年），圣彼得堡悖论（1738年），理发师悖论（1901年），巴拿赫—塔斯基悖论（1924年），希尔伯特旅馆悖论（1925年），生日悖论（1939年），海岸线悖论（1950年），纽科姆悖论（1960年），帕隆多悖论（1999年）

一千多年来，哲学家和数学家一直试图理解芝诺悖论，这是一个谜题，它试图表明运动的不可分性。芝诺来自意大利南部，是苏格拉底之前的希腊哲学家。他最著名的悖论是这样的：古希腊神话中善跑的英雄阿喀琉斯（Achilles）和一只行动缓慢的乌龟赛跑，如果乌龟有先行出发的机会，那么阿喀琉斯就永远无法超越它。这个悖论意味着你永远不能离开你所在的房间。为了到达房间门口，你必须先走过一半的距离，接下来你还需要走过剩余距离的一半，再走一半，一半……以此类推。你不可能在有限的步骤中到达门口！从数学上讲，人们可以用无穷级数之和来表示这个极限（1/2+1/4+1/8+…）。试图解决芝诺的悖论一种现代解释是，主张这个无穷级数1/2，1/4，1/8，…的总和等于1。如果每一步骤都只用上一步骤的一半时间内完成，那么实际完成这些无限步骤的时间与离开房间所需的实际时间完全一样。

这种解释方法并不能完全令人满意，因为它没能解释一个人如何一次接一次通过的无限数量的节点。今天，数学家们用“无穷小量”（难以想象的微小量，几乎为零但又不完全是零）对芝诺悖论进行微观分析。再利用数学中“非标准分析”的一个分支，特别是其中的“内集合论”，我们可能已经解决了这一悖论，但争论仍在继续。有些人还是认为，如果空间和时间是离散的，那么从一个点到另一个点的跳跃总次数就是必然是有限的。