中西方数学的要素比较

志高望远也必须面向经济、社会发展的需要

原始动机

从事数学或者自然科学的探索，无一不是为了生计的需要，古今中外、概莫能外。科学研究的动机，最初并不是为了满足某种好奇心或者探索自然奥秘的精神那么高大上。研究者不是武侠小说中的武林高手，终日游走江湖，无需劳作也不会为生计所困，别在腰上的钱袋中总是有掏不尽的银子。

数学启蒙时期，研究数学的原始动机是因为需要养活全家，恰好自己的能力或者兴趣又在于这种抽象思维。研究过程中全家的生活需要有保障，作为一家之主，没有收入如何养家糊口，除非你腰缠万贯、家境殷实；研究本身就是很耗费时间和金钱的事情，而且只出不进，再大的家产也会被败光。从事研究工作，“为了生计”也是为了更好的生活，面向社会的当前或未来需求而开展。

列昂纳多·姆洛迪诺夫出版的《几何学的故事》，描绘了欧几里得、笛卡儿、高斯、爱因斯坦与威腾等人的研究经历，他们分别处于古代、近代、现代三个时期，分别开创了抽象化逻辑思维证明、解析几何、非欧几何学、狭义及广义相对论、弦理论。与中国古代一样，西方对几何学问题的探索，也是因为生产的需要——丈量土地、水利施工，这是原始的农业社会的生产过程中两个最基本的需要。

古代的政府管理者需要有客观的、可量化的度量方法，以便准确掌握土地以及土地所带来的财富，并且越准确越好。但是，由于大地表面高低起伏、江河湖海、山川丘陵等自然因素以及人类活动的因素，土地的分布是复杂多样的，田地的形状是奇形怪状的，这就促使人们动脑筋去研究，如何能够把这些复杂形状（包括平面和立体）准确地丈量出来，最终，形成了关于尺寸、面积、体积等的各种计算方法。丈量土地催生了平面几何学，水利施工催生了立体几何学。

随着知识积累得越来越多，渐渐地形成了一套完整的系统，直至形成了一种专门研究形状的科学。这种最初源自土地测量与绘画的知识，希腊语称作“”，由表示“土地”的前缀“γεω-”和表示“测量”的后缀“”组成，直接词义是“测量土地技术”。阿拉伯人用“”命名这种技术，意思是测地术，即土地的测量方法。根据拉丁语的发音，英语直接音译为“geometria”。中国人在翻译《几何原本》时，取名为“几何学”，有人分析认为徐光启和利玛窦可能是根据geo的发音而译为“几何”，而“几何”二字汉语的意思是“多少”，例如“对酒当歌，人生几何”“年几何矣”“于将军度用几何人而足”。而度量几何，又何尝不是因为生活需要？用“几何”音译“geometria”这个词，音义兼顾、甚是绝妙。

其实，无论科技发展到什么时代、什么水平，现实需求永远是推动数学发展的动力之一。除非你衣食无忧，不需要通过你的智慧养活你的身体；这种情况也是有的，你的智慧就可以完全着落于你的兴趣之上，脱离短期应用而研究纯粹数学。需要说明的是，最基础的问题也是很有价值的，它看似是一种数学游戏，却可以推动数学的进步，犹如哥德巴赫猜想可以推动解析数论的进步一样。

所以说，从数学发展的原动力和研究的终极目的来讲，中西方是一样的。

逻辑思维

吴文俊院士认为中国古代数学与西方数学的差异之处在于：

（1）中国古代数学并没有发展出一套演绎推理的形式系统，但另有一套更有生命力的系统。刘徽《九章算术注》序中说“析理以辞、解体用图”，刘徽《海岛算经》本来有注有图，“注以析理、图以解体”，只是已失传而已，这是古代数学用于分析矛盾、解决矛盾的一种辩证思维方法。

（2）中国古代的劳动人民向来重视实际，善于从实际中发现问题、提炼问题，进而分析问题、解决问题，在深入广泛实践的基础上再拔高、提升，建立了世界上最先进的中国古代数学。中国的数学是牢牢扎根于广大劳动人民之中的，是建立在劳动人民长期实践经验的基础之上的，这有别于希腊几何学脱离实际、脱离群众、走纯逻辑推理的形式主义道路。

有人认为，中国的数学是机械化思想所对应的算法式数学，重于实用与计算，着重解方程、计算、解决各式各样的问题。而西方的数学是公理化思想所对应的推演式数学，注重公理的推演，根据假设条件进行推断，采用“定义-公理-定理-证明”演绎系统，取公理而代之的是几条简洁明了的原理。这个观点有一定的道理，但过于偏颇。公理化演绎方法，中国古来有之。本书第七章将详细介绍中国古代的公理化演绎方法，第八章将详细介绍中国古代的逻辑推理哲学思想。

无论东西方，数学的发展总是和实际应用相结合的，也就是现实的生产、生活的需要促使人们去思考解决的办法，最终归纳形成一套演算方法。因此，“着重计算、解决各式各样的问题”，并不是中国古代数学所独有的，西方的古代数学研究亦复如是；而另一方面，“注重公理的推演，根据假设条件进行推断”，也不是西方古代数学所独有的，中国古代的数学同样有推演的过程和公理化的思想。

勾股定律的证明就是一个典型的推理过程，赵爽(2)在公元222年深入研究了《周髀算经》，并做了详细注释，其中包括勾股定理，给出了勾股定理以及基于“出入相补原理”的证明。

定理：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”

证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”

定理中的“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦”，明确了勾、股、弦三者的关系，即“勾股各自乘，并之，为弦实”，或者说“勾×勾＋股×股＝弦的面积”；“开方除之，即弦”，明确指出：

最精彩的是证明部分，证明中的“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实”这段话的目的是找出弦图中绿色虚线条的直角三角形中三个边（勾、股、弦）的定量关系。

与绿色线条的三角形一模一样的三角形有4个，填充红色（“朱”就是红色），三角形的面积为“朱实”；4个三角形围着的是中间的那个正方形，即填充黄色的部分，正方形面积为“中黄实”。

我们用运算式来分解翻译这段话之后，就不难看出中国古人严谨的推理逻辑思维方式。这个过程如果符号化，其推理过程就更直观了。为了更清楚地对照说明这个过程，我们把原文的推理过程分解成5个步骤，以表格列出。

这段论述中的开场白“按弦图”，就是“根据弦图所示”的意思，这也是现代数学中一段论述的通行开场白，一般使用“如图所示”“根据图示”，英文即As the figure，Considering figure，As shown in the figure，Illustrated in figure等。

可见，勾股定理的证明过程是一个完整的推理过程。类似的具有严谨的逻辑推理的思维，在中国古代数学著作中不乏其例，例如《九章算术》中的体积计算，就是一个层次分明的推理过程。

中国的数学也是演绎推理的过程，只是由于没有使用符号化表达，而是使用“自然语言”，推理过程看起来不直观、过程显得晦涩；而西方数学的演绎推理过程，因为使用符号化表达，即“符号语言”，推理过程看起来直观，过程中规避了复杂表达上的干扰，集中于推理的思考之中。由此带来的好处是，传承与创新更加高效，更容易与自然科学相结合。

所以说，从数学的逻辑思维方式来讲，中西方是一样的。

语言表述

从前面的分析可以看出，中西方数学解决问题的思路相同、逻辑推理的思维方式相同，但是从形式上的语言表达，很直观地就可以看出，两者存在很大的差异。

我国古代与西方近代的数学语言都采用了“自然语言”“符号语言”“图形语言”，其中，中国古代数学的自然语言的使用比例极高，即主要使用文字叙述的方式；西方近代数学的自然语言、图形语言的使用比例较高。

各种形态的数学语言各有其优越性。自然语言的特点是严密准确、完整规范，有益于概念、定义的表达。图形语言的特点是直观明了、有助记忆、有助思维，有益于问题的解决。符号语言的特点是指意简明、书写方便、信息量大，以符号表达的公式将数学关系融于形式之中，有助运算、便于思考。

数学的符号语言脱胎于自然语言，是自然语言的简明表达，比自然语言更加便于逻辑推理层面的沟通交流。自然语言虽然为数学符号的产生提供了最基础的条件，但是它的缺陷也是明显的，这促使人们探索用简明的符号来表达数学概念和数学关系，中国和西方的古代数学家同样有这样的尝试。

从当今时间点回眸审视数学语言，我们很容易明白，数学语言作为数学理论的基本构成成分，必须具有严密的逻辑性（科学）、高度的直观性（简洁）、应用的广泛性（通用）。其中，逻辑性是基本的要求，无论是什么语言，用于数学的描述必须具有逻辑性；而简洁直观、广泛通用，这两个特性则是数学这门学科得以快速发展、继承与传播的重要特质。

西方对符号的使用相对较早，例如毕达哥拉斯(3)的《数学讲义》、欧几里得(4)的《几何原本》，已经有了以单个字母标注的情况，不过，主要还是以大段自然语言进行表述。

有一个例子比较有意思，我国清末的数学家李善兰(5)在翻译西方数学著作时，用汉字符号代替西方的数学符号。下面是李善兰与艾约瑟合译的《圆锥曲线说》的其中一页，原稿是查尔斯·赫顿的《数学教程》（A Course of Mathematics）卷2中的“Conic Sections”的其中一页，与英文原稿相比，内容几乎完全一致、定理先后排序一样、个数几乎相等、特有的细节相同。李善兰的《圆锥曲线说》将原稿中的数学符号一并翻译成了汉语，例如“A、B、C、D、…”翻译成“甲、乙、丙、丁、…”，“}”翻译成“并之”，“sim”（similar，相似）翻译成“等势”，“tri”（triangle，三角形）翻译成“三角形”。

这样一来，原本以符号语言表述的句子：

若：BD⊥LN

则：点G、F重合于点D

CG×CF＝KC

就变成了自然语言：

若乙丁正交卯丑

则庚己二点俱合于子点

而丙庚乘丙己即为子丙方矣

李善兰和西方传教士合作，将西方经典科学著作翻译过来，共出版译著8部（104卷本），为中国清末科学发展做出了开创性的贡献。但是，李善兰将原稿中的符号语言全部转换为自然语言，使原稿中原本以符号语言表达的简洁直观变为自然语言表达的晦涩难懂，同时，也破坏了符号语言的广泛通用性。李善兰倾注大量心血的数学译著最终没有得到传承和流广，我们在为李善兰感到特别惋惜的同时，也领教了数学语言的简洁、直观的重要性，这是李善兰用惨痛的教训告诉我们的道理。

这个现象其实在当时并不奇怪，著名科学家徐光启翻译的《几何原本》，也和李善兰一样使用了自然语言替代符号语言。

倘若反过来，李善兰、徐光启将中国古代的数学著作翻译成英文，并且将古籍中必要部分的自然语言叙述转换成符号语言叙述，那或许对于推广中国古代数学、提高中国数学在世界数学史上的地位，将起到极为巨大的作用。但是，历史不可假设，也没有时间机器让历史重新来过，一切的美好假设，也只能停留在隐隐的遗憾之中。

符号语言改变数学的面貌

符号语言使思维更敏捷、逻辑更分明

早在中世纪，数学相对发达的阿拉伯就在尝试使用数学符号。大数学家阿尔·花拉子米曾用“3/4”表示3被4除。阿拉伯人还使用“—”作为除号，使用“：”代表“比”的意思。古印度人则是把两个数字写在一起表示加法，而把两个数字写得分开一些来表示减法。

到了文艺复兴时期（14—16世纪），欧洲的一些数学家不约而同地认识到引进符号的简洁性，因此很多人在数学符号方面不断探索。起初，各有各的方法，最终形成了公认的固定符号。

1．数学的灵魂：相等符号

雷科德(6)在《砺智石》中，使用“＝”表示两个量的相等关系，“为了避免枯燥地重复is equal to（等于）这个词语，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更相同的了。”但“：”没有被广泛采用。笛卡儿在1637年出版的《几何学》一书中，用“∝”表示“相等”。直到17世纪，德国的数学家莱布尼茨，在各种场合大力倡导使用“＝”，由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认。古希腊数学家丢番图（Diophantus）用“l”（有时用“ч”）表示相等，古印度人用相当于的字母表示相等。

2．数学的武器：四则运算符号

最初，数学家曾用单词的首字母代替符号，许凯(7)、塔塔利亚(8)、帕乔里(9)等曾以p（plus）表示相加、以m（minus）表示相减。

斐波那契(10)首次使用“＋”，最初他把“3加4”写成“3 et 4”，其中“et”是拉丁文，最后逐步简化：et→e→t→＋。

1489年，魏德曼(11)在《商业速算法》中正式应用了符号“＋”和“－”，他发现用横线增加一竖可表示增加之意；而从“＋”拿去一竖，就可表示减少的意思。因此他用“＋”表示加，用“－”表示减。

直到1514年赫克(12)才分别应用“＋”和“－”表示加减运算符号。经过韦达(13)等数学家的大力宣传和提倡，这两个运算符号才开始普及，至17世纪已获得公认。

莱布尼茨认为，“×”有些像拉丁字母“X”，反对其作为乘法符号，而赞成应用“·”表示乘号。他还提出用“∩”表示相乘，该符号现应用于集合论。哈里奥特(14)用“·”表示乘号。在欧洲，“÷”曾作为减法符号，如里斯(15)在1522年出版的《商业算术》中即是如此。英国人威廉·奥特来德于1631年首先在著作中用“×”表示乘法，后人沿用至今。

1630年，在英国人约翰·比尔的著作中出现了“÷”，应用符号“÷”表示除号，应归功于雷恩。1659年，雷恩出版了《代数》，其中第一次应用“÷”作为除号，得到莱布尼茨的赞誉。

现在绝大多数国家用“＋”“－”来表示加与减。而“×”“÷”却没有普遍使用，有些国家用“·”代替“×”，而在俄罗斯和德国一般用“：”来代替“÷”。

3．数学的内涵：阿拉伯数字

阿拉伯数字实际上发源于古印度，后来被阿拉伯人掌握、改进，并传到了西方。

到公元前3世纪，印度出现了整套的数字，但在各地区的写法并不完全一致，其中最有代表性的是婆罗门式：这一组数字在当时是比较常用的，其特点是从“1”到“9”每个数都有专字，但还没有出现“0”（零）的符号。

笈多王朝(16)时期，数学著作《太阳手册》中已使用“0”的符号，当时只是实心小圆点“·”，后来，小圆点演化成为小圆圈“0”。这样，一套从“1”到“0”的数字就趋于完善了。