2.2 参数估计的概念

2.2.1 参数估计定义

参数估计是根据一组与未知参数有关的观测数据按照某种准则推算出未知参数的值。如图2.1所示，待估计参数用参数空间X表示，和待估计参数相关的观测数据用观测空间Z表示，从参数空间X到观测空间Z有些因素（像传感器测量误差等）是知道的，而有些因素是未知的，利用观测数据在某种准则下得到的估计集合可用估计空间表示，准则不一样得到的估计也不同。

下面以参数x的估计问题来具体说明什么是参数估计。设z（j）是在有随机噪声w（j）情况下获得的j时刻参数x的量测值，用函数形式可表示为

在采样时刻j=1，2，…对信号参数x进行观测得到观测值{z（j），j=1，2，…}，利用这些观测值按一定的准则可构造一个观测数据的函数来作为信号参数x的估计，该过程可用图2.2所示的参数估计示意图来表示。

例如对于k个这样的量测，函数

就是在某种意义下对参数x的估计，其中Zk为直到k时刻的累计量测集合。

利用某种准则得到的参数估计和待估计参数x的真实值之间是有差距的，这个差距可用代价函数来定义。代价函数又称为风险函数，是参数真值和估计值的函数。对于单参量估计常把代价函数设定为估计误差的函数，即。

1.静态标量情况下的代价函数

当被估计的参数为标量时给出如下三种典型的代价函数。

①均匀代价函数，即

Δ→0，即令估计值十分接近于真实值时代价为0，其余情况代价为1，如图2.3所示。

最大后验估计就是以均匀代价函数为基础得到的。

②误差平方代价函数，即

误差平方代价函数随误差增加而快速增大，如图2.4所示。误差平方代价函数由于数学处理方便应用最为广泛。卡尔曼滤波等最小均方误差估计就是以误差平方代价函数为基础得到的。

③误差绝对值代价函数，即

误差绝对值代价函数随误差绝对值线性变化，如图2.5所示。由此代价函数可得到条件中位数估计，由于求解比较复杂，所以未得到广泛应用。

2.静态向量情况下的代价函数

当被估计的参数为n维静态向量时给出如下三种典型的代价函数。

①均匀代价函数，即

式中，为误差向量的范数，S为非负定的加权矩阵。

②二次型代价函数，即

③范数代价函数，即