3.3.3 稳态卡尔曼滤波

当观测时间越来越长时，稳态卡尔曼滤波可用来描述一步预测协方差和状态更新协方差的特性，也就是当观测时间k→∞时，稳态卡尔曼滤波用来描述协方差是否存在确定的极限值，以及在什么条件下存在确定的极限值。由式（3.44）状态的一步预测和式（3.52）的状态更新方程可组合成关于状态的一步预测的单递推式，即

类似地，可获得一步预测协方差的单递推式，即离散时间矩阵Riccati方程

由式（3.86）可看出，k时刻预测的k+1时刻的协方差P（k+1|k）只与前一时刻的一步预测协方差P（k|k-1）、过程噪声协方差矩阵Q（k）、量测噪声协方差矩阵R（k）有关，与量测Z（k+1）无直接关系，所以在某些特定条件下一步预测协方差矩阵可以在量测之前迭代计算。

如果系统是时常的，也就是状态转移矩阵F和量测矩阵H是常数矩阵，由于输入项一般认为为零，所以通常情况下只需要F和H是常数矩阵，并且噪声是平稳的，也就是Q和R是常数矩阵，而且满足以下两个条件：

（1）F、H是完全可观测的；

（2）F、D（过程噪声的标准差，即Q=DD′）是完全可控制的。

则随着k→∞，Riccati方程[见式（3.86）]的解收敛到一个正定矩阵。即如果随机线性系统是一致完全可控和一致完全可观测的，则Kalman滤波是一致渐近稳定的，且存在一个惟一的正定矩阵，使得从任意的初始协方差矩阵P（0|0）出发，当k→∞时，恒有P（k+1|k）→。同时，由常协方差矩阵产生卡尔曼滤波稳态增益为

对于完全可观测和完全可控制的随机线性定常系统，达到稳态时，P（k|k-1）→、P（k+1|k）→、K（k+1）→K，由式（3.86）可看出，此时Riccati差分方程退化为Riccati代数方程

不论P（k|k）的值的大小，系统过程噪声方差矩阵Q（k）始终保证P（k+1|k）有值，量测噪声方差矩阵R（k）始终保证S（k+1）有值，从而保证增益K（k+1）有值，使得每步计算都能利用观测得到的最新信息来修正前一步的估计，得到新的实时估计。并且，一旦系统达到稳态则滤波由式（3.85）的时常型控制

理想条件下，Kalman滤波是线性无偏最小方差估计。根据滤波稳定性定理，对于一致完全可控和一致完全可观测系统，随着时间的推移，观测数据的增多，稳态滤波效果与滤波初值的选取无关，滤波估计的精度应该越来越高，滤波误差方差矩阵或者趋于稳态值，或者有界，即滤波器具有稳定性。但是，这些结论的获得是以系统数学模型精确为前提的，而在实际应用中，由滤波得到的状态估计可能是有偏的，且估计误差的方差也可能很大，远远超出了按计算公式计算的方差所定出的范围；更有甚者，其滤波误差的均值与方差都有可能趋于无穷大，出现了滤波中的发散现象。显然，当滤波发散时，就完全失去了滤波的作用。因此，在实际应用中，必须抑制这种现象。