1.2 有限元法的基本步骤

有限元法遵循如下基本步骤：

1.针对工程问题确定解决方案

归根结底，各种工程问题是对涉及4种物理场（力场、热场、流体场、电磁场）数学模型的求解，每种物理场的数学模型都有各自的求解方法。因此，针对工程问题的有限元法第一步是确定工程问题的解决方案。例如，针对结构的受力问题和稳定性问题，采用力场求解方案；针对物体热传导、热辐射及热对流等问题，采用热场求解方案，或者用热场结合流场的解决方案；针对电磁传导、高频电磁信号传播及衰减等问题，采用电磁场求解方案。

2.几何模型的建立

在确定解决方案后，要根据工程问题所涉及的对象特点，建立相应的简化几何模型，对不同的工程问题，可采用一维（如弹簧质量的动力特性分析）、二维（将问题简化为平面或平面对称模型）或三维的几何模型。一维模型构型简单，由点和线构成，通常在有限元分析系统中构建一维模型。对二维或三维模型，通常在有限元分析系统中用简单的几何体（长方形、圆形、三角形等）结合布尔运算构建出对象的几何特征，也可以用其他三维建模软件建立几何模型，通常用Solidworks、Pro/ENGINEER、UG或CATIA等。需要注意的是，在建立几何模型时要构建包含主要研究对象的特征，额外的几何特征不予考虑，这样做的目的是尽量减少不必要的网格，节省计算时间。例如，在对结构的受力或动力学进行分析时，应该优先建立结构的主要承力部件模型，对其他不涉及受力的几何要素（如圆角、倒角、连接螺栓、阻尼器等），不需要考虑。

3.几何模型离散化

有限元的单元和节点定义了有限元法所模拟的物理结构的基本几何形状，模型中的每个单元都代表了物理结构的离散部分。也就是说，大量的结构单元依次组成了结构，单元之间通过公共节点和接触关系相互连接。构建的几何模型描述了所解决物理问题的基本轮廓，即连续体。把连续体人为地在内部和边界上划分节点，以微小单元体的形式逼近原来复杂的几何形状，此过程称为逼近性离散。离散后，模型中所有的单元和节点的集合称为网格。在有限元软件中，这一步骤也称为网格划分。通常，网格只是实际结构几何形状的近似表达。为了保证结果的精度，保持相邻几何体单元间节点的对应是非常重要的，即采用各种方法使相邻的节点形成公共节点。由于公共节点是人为增加的节点，因此需要考虑很多方面的问题，如节点的位置与数量、计算的规模和计算量、单元的类型、对几何模型的逼近程度等。必须处理好以下几对矛盾：计算量与离散误差、局部计算精度与整体计算精度、计算精度与求解时间、求解规模与计算机处理能力等。

在网格中所用的单元类型、形状、位置和总体数量都影响计算的结果。一般而言，网格的密度越大，结果的精度越高；当网格的密度增大时，分析的结果将收敛到唯一解。但是用于分析计算所需的代价和时间将大大增加，有时还会超过计算机的处理能力。在实际应用中，针对目标几何体的特征，需要选择不同类型的单元类型，如形状规则的几何体（几何要素由正方形、长方形或梯形组成），一般选择六面体单元对其进行离散。而对形状较为复杂或带有曲面轮廓的几何体，则采用形状适配性较好的四面体单元进行离散。这里需要说明的是，一些教材或相关书籍过分强调划分网格时需采用六面体单元，尽量少用四面体单元，这种观点不一定完全正确。在计算机处理能力不高、商用有限元软件中的单元种类较少的时期，因为四面体单元计算精度相对偏低，所以推荐使用六面体单元以保证计算精度。而随着计算机处理能力的飞速提高，商用有限元软件对四面体单元的反复优化，现在四面体单元也能达到很高的计算精度。因此，对复杂形状的几何体，也可以使用四面体单元。

4.定义材料数据

使用有限元法求解出的原始结果是节点的位移，根据材料力学中应力的定义，节点的应变乘以材料弹性模量等于应力。因此，材料数据是有限元法中不可缺少的。不同求解方案所需的材料数据也各不相同，例如，在对力场进行分析时，需要材料的弹性模量、剪切模量、泊松比、密度；在对热场进行分析时，需要材料的热传导系数、比热容等。

5.载荷边界条件和约束边界条件

载荷边界条件是指施加在有限元模型上，导致有限元模型发生节点变化的外界物理量。进行有限元平衡方程求解时，作用在单元上的外载荷必须移到单元的节点上去。有限元平衡方程的外载荷通常有集中力、表面力、体积力等。在把这些外载荷移到单元的节点上去时，都必须遵循静力等效原则。所谓静力等效原则是指移置前的原载荷与移置后的节点载荷在任何虚位移上的虚功都相等。在有限元求解前，对载荷的施加往往还有额外的工作。例如，将分布载荷换算到结构的节点上，使之成为集中载荷；将分布载荷换算到细长构件上，使之成为分布线载荷；将体积力用质量和加速度等效转换。做这些工作时，也要遵循静力等效原则。因为如果不按静力等效原则换算，计算出来的结果将不是原载荷的等效结果，失去了结构分析的意义。进行有限元分析时，计算结果只对载荷边界条件负责。只要所选的载荷边界条件满足有限元平衡方程的求解要求，就能得到正确结果。例如，在施加载荷边界条件时，限制了结构的刚体移动和转动，满足了有限元平衡方程求解的必要条件，就可得到对应于该边界条件的正确结果。但是，作为工程结构分析这是不够的，还必须满足充分条件，即符合工程实际情况的载荷边界条件。

约束边界条件是指约束模型的某一部分，使之保持固定不变或移动规定量的位移。对非自由系各质点的位置和速度，所施加的几何或运动学的限制称为约束。无论哪种情况，约束边界条件都是直接施加到模型的节点上的。约束的要素可分为4个：约束的类型（哪几个自由度）、约束的方向（相对哪些坐标系）、约束的位置（在什么地方约束）、约束的区域（约束的面积多大），它们均深刻地决定着约束边界条件的影响价值。

关于约束的类型和方向，比较容易理解，但是关于约束的位置对整体刚度的影响就不那么容易判断了。约束边界条件的改变往往剧烈影响甚至从本质上改变结构的力的传递方式，进而改变结构的承载刚度。整个结构的刚度矩阵为全体单元刚度矩阵的叠加，此时，可以通过理论推理、推导公式和查询力学工程设计手册，预测某些约束边界条件位置的几何参数影响整体刚度的程度。对某个受外力作用的力学结构系统，如果增加约束边界条件，那么该系统的各个节点的刚度将会增加，即各点的位移量减小。在静态分析中，需要合理地设定约束边界条件，使结构具备足够的约束边界条件，避免模型在任意方向上的刚体无限移动；否则，没有约束的刚体或约束不合理导致节点出现单方向的自由度，出现预期之外的位移从而导致刚度矩阵产生奇异，使有限元平衡方程的求解失败。建议设置合理的约束边界条件，使用有限元法的工作人员不仅要具备一定的理论力学和结构力学的知识，判断出特定工程的承力与受力特点及位置，而且要完全熟悉各种商用有限元软件中的约束和载荷边界条件的类型和作用方式。这些内容将在后续章节中介绍。

6.单元分析

单元分析主要指单元的力学分析。通过对单元的力学分析，建立单元刚度矩阵，实质就是在离散化的单元上寻找待解问题的近似解，建立各个单元的节点变量之间的关系式。

7.整体分析

由单元分析得到局部近似解，由局部近似解得到待解问题的全局近似解，这个过程就是整体分析。