1.1 逆优化问题理论与方法

优化问题作为一个重要的数学分支，广泛存在于实际生活中，其不但有较高的理论研究价值，而且对提高社会生产效率、节约能源具有重要意义。例如，工程中怎样选择设计参数，使得设计方案既满足设计要求，又降低成本；资源分配中怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；城市建设规划中怎样安排工厂、机关、学校、医院、住宅等的合理布局，才能有利于各行各业的发展，便于群众的生活。

在现实生活中，经常会出现一类场景：存在一组已知的参数，此参数对应一个可行解，然而，此可行解并非该条件下的最优解。因此，为了使得给定的可行解变为最优解，采用最小化调整现有参数的方法达到期望。我们称此类问题为逆优化问题。该“逆优化”思想由比利时的Burton等人在1992年首次提出，在地震层析成像技术和应用数学领域均有重要的研究意义。Burton等人将逆最短路问题求解用于地震层析成像技术来预测地震，引起学术界的广泛关注。在该问题中，网络代表地质区域的离散化，形成大量的“单元”，弧的成本代表某些地震波从一个单元到下一个单元的传输时间；然后观测地震，并记录地震扰动到达地面各观测站的时间。研究者根据对最短时间波的观察和对研究区地质性质的先验知识，重建细胞之间的传输时间，得到了良好的实验结果，为该类问题的研究提供了新的思路。在应用数学的研究过程中，通常假设存在已知路网，从路网起点至终点寻求一条最短路径，使费用、时长、距离等要素构成的成本最优。传统的求解方法一般优先计算路网中每条弧的成本，在此基础上采用有效算法快速求出最短路径。但是，由于每条弧成本的估算值并非精确值，且不同方法之间存在较大误差，所以该类方法并不能确保得到的路径为最短路径。倘若采用逆优化的思路预先了解到各弧的实际应用情况，计算其成本并整合到数学模型来对优先计算的成本进行修正，对确保给定的路线在修改后的网络中是最短路径具有良好的效果。当然，此类应用还有许多，用外部测量确定不可达区的内部传输特性是许多科学领域中非常普遍的工作。凭借以上案例的重要性，足以说明逆优化的学术价值和工程意义。

除以上案例之外，一些具体的、特殊的逆优化问题同样得到广泛关注，如逆最短路径问题（Inverse Shortest Paths Problem）、逆指派问题（Inverse Assignment Problem）、逆最小费用流问题（Inverse Minimum Cost Flow Problem）、逆最小生成树问题（Inverse Minimum Spanning Tree Problem）、逆中心选址问题（Reverse Center Location Problem）、容量扩充问题（Capacity Expansion Problem）、匹配问题（Matching Problem）等。求解不同问题需建立合理的逆优化问题模型。综合国内外的逆优化研究成果来看，逆优化问题模型的构建多采用逆数据包络分析、线性规划、双层优化、多目标规划、粒子群算法、贝叶斯网络、遗传算法等。目前有关逆优化的研究表明逆优化是一种解决参数优化问题的有效方法。

综上所述，逆优化理论与技术在国民经济的各个领域具有相当的研究潜力和价值，有助于实现生产过程最优化、提高生产效益、节约资源。同时，该思想及相关研究工作对系统管理科学和计算机科学的理论与实践有着十分重要的研究价值。