1.2　一笔画问题

“对了，你知道柯尼斯堡七桥问题吗？”

“柯尼……什么？”尤里反问。

“柯尼斯堡，是一座城市的名字。这座城市有七座桥。”

“不知道。听起来像奇幻小说。这座城市有七座神圣的桥，勇者需要通过这些桥，才能打败恶龙……”

“呃……不是这样的。柯尼斯堡七桥问题是历史上很有名的数学问题。”

“这样啊。”

“也就是一笔画问题。”

“是指一笔画完所有的边吗？”

“是的。具体来说，就是柯尼斯堡这座城市有河流经过，然后市内有这样的七座桥。”

柯尼斯堡七桥地图

“这不是六座桥吗？ a、b、c、d、e、f。”

“右下方不是还有 g 桥吗？陆地有四块，分别是 A、B、C、D；桥有七座，分别是 a、b、c、d、e、f、g。”

“噢，然后要用一笔画的方式走过所有的桥吗？”

“没错。不管从 A、B、C、D 中的哪一块陆地开始都行。在不重复经过同一座桥的条件下，能不能走遍所有的桥呢？”

问题 1-1（柯尼斯堡七桥问题）

在不重复经过同一座桥的条件下，能不能走遍柯尼斯堡的七座桥呢？

“要走遍所有的桥，但不能重复经过同一座桥。也就是说，每座桥都只走一次，对吧？”

“没错，条件只有这些。”

“不对。”尤里笑嘻嘻地说，“还得加上不可以游泳过河之类的条件，不是吗？‘勇者啊，切记不要游泳过河。’”

“当然。既然是和桥有关的问题，就不能游泳过河嘛。”

“而且还要加上只有一个人过桥的条件才行。要是没有这个条件，只要七个人分工，就可以马上走完七座桥了。”

“知道了，知道了。过桥的只有一个人，而且不能坐直升机、火箭过河，也不能挖地道过河，当然也不能瞬间移动。”我边摇头边说。尤里总是追究这些细节。

“还有，一定要回到一开始出发的那块陆地吗？”

“最后不用回到一开始出发的陆地。当然，回去也没关系。在柯尼斯堡七桥问题中，只要没有重复走过同一座桥，并且每座桥都有走过就行了。”

“有办法一次走完这些桥喵？呜，我觉得应该可以。”

“那就试试看吧。”

尤里拿着自动铅笔，尝试用一笔画的方式走完这些桥。

“……”

“怎么样？完成了吗？”

“不行，办不到。你看，假设我们从 A 开始走，按照 a → e → f → b → c → d 的顺序过桥，最后就没有路可以走了。这样就没有办法过 g 桥了。”

按照 a → e → f → b → c → d 的顺序过桥（没办法过 g 桥）

“是啊。走过 d 桥来到陆地 B 时，会发现连接陆地 B 的五座桥都已经走过了，没办法再从 B 走到其他陆地。但是，还有一座 g 桥没有过。”

“没错。”

“说不定还有其他走法呢。可以试着从其他陆地开始走。”

“我试了很多种走法，就是不行。”

“试了很多种走法并不代表试完了所有走法，不是吗？”

“话是没错……”尤里说，“但肯定不行。”

“那么，这就是你猜想的结论，对吧？”

“什么意思？”

“为了解开柯尼斯堡七桥问题，你用了许多方法，最终认为不可能用一笔画的方式走完所有的桥。但你还没有用数学方法证明这个结论，所以这只是你个人的猜想。”

“用数学方法证明……这有可能做到吗？这是一笔画问题，虽然哥哥擅长算式推导，但也没有办法使用算式来证明吧？”

“我们可以用图来证明能不能用一笔画的方式走完所有的桥，不需要用到算式。”

“图？”

“没错。这里说的图并不是折线图或饼状图那种用于统计的图，而是由边连接起许多顶点的图。讨论那些可以一笔画完的图具有哪些性质属于数学范畴。”

“由边连接起许多顶点的图……那是什么？我听不懂。”

“以柯尼斯堡七桥问题为例，陆地就相当于顶点，桥相当于边，所以我们可以得到一个这样的图。图中顶点之间的连接方式非常重要。你看，这个图的连接方式与七桥地图的连接方式相同。”

用图展示柯尼斯堡七桥问题

“这完全不一样吧。”

“一样啊。仔细看，地图上表示陆地的 A、B、C、D 分别对应于画了圆圈的顶点。也就是说，将大块陆地缩小、变形，以一个顶点来表示。地图上表示桥的 a、b、c、d、e、f、g 与边对应。”

将地图变形为“图”

“变形……原来是这样啊。”

“在一笔画问题中，我们不需要考虑陆地的面积和桥的长度之类的。各块陆地有哪些桥才是重点。”

“原来如此。”尤里点了点头，“边可以弯曲吗？”

“可以。只要连接方式相同，边有多长、有没有弯曲都无所谓。地图上的 g 桥虽然在较偏的位置，但我们只要注意不要改变陆地之间的连接方式，就可以把 g 桥往中间拉。将图整理好也有助于证明猜想。”

“我知道图是什么了，但是该怎么证明猜想呢？”

“我们一起来想想这个一笔画问题吧。”

“嗯！”