1.2 可测函数及其性质

可测函数是实变函数中最重要的概念之一，它对理解随机变量有很大的帮助，因此本节将可测函数的性质列举出来，以使读者更好地掌握随机变量的相关性质.

定义1.2.1 设E∈M，f是以E为定义域的函数，如果对R上的任意一个区间I，均有

f-1（I）={x|x∈E，f（x）∈I}∈M

则称f（x）为Lebesgue可测函数，简称为可测函数.如果

f-1（I）={x|x∈E，f（x）∈I}∈β（R）

则称f（x）为Borel可测函数.

从定义可直接看出，Borel可测函数必是Lebesgue可测函数.

定理1.2.1 设f（x）为可测集E上的实函数，则下列陈述等价：

（1）f（x）为可测函数；

（2）∀a∈R，f-1（（a，+∞））∈M；

（3）∀a∈R，f-1（[a，+∞））∈M；

（4）∀a∈R，f-1（（-∞，a））∈M；

（5）∀a∈R，f-1（（-∞，a]）∈M.

下面是几种常见的可测函数类：

（1）E上的常函数为可测函数；

（2）E上的连续函数为可测函数；

（3）E上的单调函数为可测函数.

可测函数有许多很好的性质，下面列举一些常用的性质.

定理1.2.2 设f（x）为可测集E上的可测函数.

（1）∀a∈=[-∞，+∞]，f-1（{a}）∈M；

（2）∀c∈R，cf（x）为E上的可测函数；

（3）f+（x），f-(x）均为E上的可测函数，其中f+（x）=max{f（x），0}，f-(x）=max{-f（x），0}；

（4）|f（x）|为E上的可测函数；

（5）如果g（x）也为E上的可测函数，则f（x）±g（x），f（x）g（x）均为E上的可测函数.

定理1.2.3 设为可测集E上的一列可测函数，则下列函数均为E上的可测函数：

推论1.2.1 设为可测集E上的一列可测函数，且∀x∈E，均有=f（x），则f（x）也为E上的可测函数.