1.3 可测函数的极限理论
本节介绍可测函数的极限理论，包括几乎处处极限、依测度极限等.
定义1.3.1 某一结论如果在可测集E上除一个零集外处处成立（在零集上可能不成立），则称该结论在E上几乎处处成立.
例1.3.1 设
则D（x）在R上几乎处处为0，记为D（x）=0，a.e.（almost everywhere，几乎处处）.
例1.3.2 设fn（x）=xn，x∈［0，1］，则fn（x）→0（a.e.in［0，1］）.
定理1.3.1 设f（x），g（x）均为可测集E上的函数，f（x）是可测的，且f（x）=g（x）（a.e.inE），则g（x）也是E上的可测函数.
推论1.3.1 设
为可测集E上的一列可测函数，且
=f（x）（a.e.inE），则f（x）也为E上的可测函数.
定义1.3.2 设E∈M，f为E上的实值函数，如果
其中，
，且当i≠j时Ei∩Ej=∅，则称f为E上的简单函数.
例1.3.3 Dirichlet函数
为R上的简单函数.
例1.3.4 符号函数
为R上的简单函数.
如果f为E上的简单函数，由
知，f为E上的可测函数.
定理1.3.2 设E∈M，f为E上的非负可测函数，则存在单调递增的简单函数列
，使∀x∈E，有
=f（x）.
对E上的任意可测函数，由f=f+－f－，其中f+与f－均为E上的非负可测函数知，存在单调递增的简单函数列
与
，使得
结合可测函数的极限仍为可测函数，得到以下推论.
推论1.3.2 设E∈M，f为E上的可测函数的充分必要条件是存在简单函数列
，使∀x∈E，有
=f（x）.
定义1.3.3 设E为R上的点集（不一定是区间），f为E上的函数，如果x0∈E，且∀ε＞0，∃δ＞0，当x∈E，|x-x0|＜δ时，有|f（x）-f（x0）|＜ε，则称f在x0点连续.
例1.3.5 Dirichlet函数D（x）在R上处处不连续.但D（x）在［0，1］∩Q及［0，1］/Q上均连续，其中，Q表示有理数集.
例1.3.6 设E={x1，x2，x3}，则
为E上的连续函数.
定理1.3.3 设E∈M，f为E上的可测函数，则∀δ＞0，存在E的闭子集Eδ，使得m（E-Eδ）＜δ，且f在Eδ上连续.
定义1.3.4 设E∈M，f1（x），f2（x），…，fn（x），…为E上几乎处处有限的可测函数，如果∀ε＞0，均有
，则称{fn（x）}在E上依测度收敛于f（x），记为
）.
由定义知，
，∀η＞0，∃自然数N，当n＞N时，有m（{x|x∈E，|fn（x）-f（x）|≥ε}）＜η.
下一定理描述了几乎处处收敛与依测度收敛之间的关系.
定理1.3.4 设{fn（x）}是E上几乎处处有限的可测函数列，且m（E）<∞.如果{fn（x）}在E上几乎处处收敛于可测函数f（x），则{fn（x）}在E上依测度收敛于f（x）.
值得注意的是此定理的逆命题不成立，即依测度收敛推不出几乎处处收敛.但有下列结论：
定理1.3.5 （Riesz定理）若{fn（x）}在E上依测度收敛于可测函数f（x），则必存在子列
在E上几乎处处收敛于f（x）.
测度空间中几种常用的极限理论概括如下.
定义1.3.5 设E为Rn中的Borel可测集，M（E）表示E上Lebesgue可测函数全体，μ表示Rn上的Lebesgue测度.对{fn（x）}，f（x）∈M（E），则
（1）如果∀ε＞0，∃自然数N，当n≥N时，有
，则称{fn（x）}在E上一致收敛于f（x）；
（2）如果∀ε＞0，x∈E，∃自然数N，当n≥N时，有
＜ε，则称{fn（x）}在E上处处收敛于f（x），记为fn（x）→f（x）（∀x∈E）；
（3）如果存在E上的零集F使得
fn（x）→f（x）（∀x∈E/F）
则称{fn（x）}在E上几乎处处收敛于f（x），记为fn（x）→f（x）（a.e.inE）；
（4）如果∀ε＞0，∃自然数N，当n＞N时，有
μ（{x∈E||fn（x）-f（x）|≥δ}）<ε
对任意δ>0均成立，则称{fn（x）}在E上依测度μ收敛于f（x），记为
（注意，依测度收敛等价于
=0）；
（5）如果∀ε＞0，∃自然数N，当n＞N时，有
则称{fn（x）}依p-方收敛于f（x），记为
.
定理1.3.6 设{fn（x）}，f（x）∈M（E），则
（1）{fn（x）}在E上一致收敛于f（x）⇒{fn（x）}在E上处处收敛于f（x）⇒{fn（x）}在E上几乎处处收敛于f（x）；
（2）当m（E）＜∞时，{fn（x）}在E上几乎处处收敛于f（x）⇒{fn（x）}在E上依测度收敛于f（x），反之不成立；
（3）{fn（x）}依p-方收敛于f（x）⇒{fn（x）}在E上依测度收敛于f（x），反之不成立；
（4）当m（E）＜∞时，{fn（x）}在E上一致收敛于f（x）⇒{fn（x）}依p-方收敛于f（x），反之不成立.