1.1　相关关系

无论相关关系还是因果关系，描述的对象均是变量之间的相互关系。变量指某个事件的抽象表示。例如，用变量H指代人的身高，变量W指代人的体重等。直观地讲，相关关系一般指变量的分布之间相似或相悖，即正向相关和负向相关。在统计学中，分布用来描述一个变量不同取值的概率，如图1-1所示的身高和体重的分布图。当同时绘制身高和体重的分布情况时，从图1-1中可以发现，身高和体重的分布趋势较为相似，此时称它们的分布是相关的。

图1-1　身高和体重的分布图

直观角度下的相关关系容易理解，但对应的具体的相关程度并不明确。自然地，我们希望更具体地描述变量之间的相关程度。相关系数是一个具体的数值，用于衡量变量的分布之间的相关程度。迄今为止，人们已经提出多种相关系数。根据需要衡量的相关关系种类的不同，分为线性相关系数和非线性相关系数，进而根据变量种类的不同，分为连续变量、离散变量和有序变量之间相互的相关系数。相关系数种类及其适用场景如表1-1所示。

表1-1　相关系数种类及其适用场景

下面着重讨论最常用的、用于衡量线性相关的Pearson相关系数（Pearson Correlation Coefficient，PCC），通过该系数来说明统计科学视角下的相关关系。PCC由统计学家卡尔·皮尔逊提出，计算方式为［1］

其中，对于任意两个变量X和Y，ρX，Y代表它们相对于各自均值偏移的内积的期望，而分母σXσY起到归一化的作用，这与直观角度下的相关关系是一致的。对于衡量两个变量的分布是否相似，PCC首先确定了一个参照点（μX，μY）来衡量每个样本点（Xi，Yi）的偏离相似性。PCC的一种理解是偏移向量的余弦相似度。余弦相似度的计算公式为，令，，则式（1-1）所示的ρX，Y与是等价的，这里称和为相对于均值的偏移向量。余弦相似度的取值范围是［-1，1］，与其等价的PCC的取值范围是一致的。

根据上面的介绍，可以明确相关关系用于衡量变量的分布之间相似或相悖的趋势，进一步地，相关系数用于衡量具体的相关程度。需要注意的是，这种相关程度的衡量不是一种决定性的函数关系，如图1-2所示，区别于回归系数（第一行），当两个变量之间是固定的函数关系时，无论这个函数关系如何，它们之间的相关系数都是1或-1（第二行）［2］。

图1-2　Pearson相关系数的直观图示

正是因为相关关系只是变量的分布之间的相关程度的一种度量，所以它本身并不具备描述因果关系这种决定性指标的功能。可以将相关关系理解为一种描述表象的指标，表象是容易伪造的，同时可能具有一定的欺骗性，因此人们希望从表象中得到关于本质的规律。而表象到本质的距离便是相关关系到因果关系的距离。下面将逐步介绍这种表象与本质之间的种种迷雾，以及消除这些迷雾的方法。