2.1.2 振荡器——范德波尔方程电路

振荡是自然界普遍存在的一种运动形式，力学、声学、电工学、光学、微观粒子学中普遍存在着各种各样的振荡，对其深入研究具有理论意义与应用价值。范德波尔方程电路研究非线性电路的极限环，它对应电子学中的各种自激振荡电路，并以二阶电路为例进行研究。从电子学一个世纪的发展历史来看，范德波尔方程电路是最早遇到的能够产生混沌的电路，范德波尔是第一个遇到混沌电路问题的科学家。当时范德波尔研究的是三相复振荡器，并且进行振荡电路实验研究。当他更换振荡频率时，在耳机中听到不规则的振荡声音，这正是混沌声音。当时的范德波尔把电路中的混沌现象理解为噪声，暂时没有消除的电路设计缺陷。正如19世纪与20世纪之交的混沌研究鼻祖庞加莱最早发现混沌并且写出了混沌的公式，却因为没有混沌意识而丧失了获得一个重要诺贝尔奖的机会一样，范德波尔再一次制造了这样的一个遗憾。

描述振荡电路的微分方程是范德波尔方程，它是非线性微分方程，在21世纪20年代研究电子管RLC电路时得到。与线性微分方程相比，非线性微分方程的解有两个新结果：一是能够产生稳定性极限环；二是能够产生混沌。本节将讨论稳定性极限环，提及如何由稳定性极限环演变成混沌。由RLC的电压电流关系容易导出所需微分方程，只要考虑到放大电路的限幅非线性，就能得到范德波尔非线性微分电路方程[4,6,11,12,18]。现在教科书中的多数振荡器电路都是这样的非线性电路，其本质就是放大器的限幅非线性。

现在的范德波尔方程是用晶体管为模型推导出来的。范德波尔方程最早提出于1926年前后，那还是电子管时代的初期。电子管栅极电压-板极电流关系曲线与晶体管基极电压-集电极电流关系曲线相似，栅极电压-板极电流关系用公式[12]表示如下

电子管范德波尔电路如图2.13所示。

作为对比，晶体管基极电压-集电极电流关系曲线如下：

式中，iE表示发射极电流；IS表示饱和电流；k=1.38×10-28J/K；q=1.60×10-19C，常温下T≈300K，，它形成非线性放大器S形放大曲线截止区附近的弯曲部分。与晶体管电路相同，当iE电流继续增加时，受极板电源电压限制，曲线渐趋平缓，形成非线性放大器S形放大曲线饱和区附近的弯曲部分，进而可以用三次多项式代替，最终得到范德波尔方程，这正是历史上范德波尔方程的产生背景。同样分析场效应晶体管非线性放大器的S形放大特性曲线，也能得到范德波尔方程。

一元二次微分形式的范德波尔方程形式是

二元一次微分形式的范德波尔方程形式是

一元二次微分形式与二元一次微分形式的范德波尔方程电路分别如图2.14和图2.15所示。

一元二次微分形式与二元一次微分形式的范德波尔方程电路EWB软件仿真结果分别如图2.16和图2.17所示。

范德波尔方程具有很多奇特的结果，研究成果颇多，例如受迫范德波尔方程

能够产生混沌，设计电路与运行结果如图2.18和图2.19所示，其中图2.18是相图，图2.19是波形图。