2.2.1 双运放三折线负阻非线性蔡氏电路

蔡氏电路原理图非常简单，然而电路动态特性却极其复杂，成为现代非线性电路的典范。之后，电子学工作者设计了一大批混沌电路。现在的混沌电路现已经形成一个庞大的家族，使得非线性电子学电路现成为非线性科学领域中引人瞩目的一个学科分支。蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌现象的典范。

蔡氏电路的结构有多种，其变形电路更是数目众多。本小节介绍的电路称为经典蔡氏电路，是双运放三折线负阻非线性蔡氏电路。该电路由一个非线性单元（蔡氏二极管）、一个线性电阻、一个线性电感和两个线性电容组成。常用、和iL表示电容元件C1、C2的两端电压及通过电感L的电流，G表示电阻器的电导，这三个变量不显示时间，系统状态由、、iL三个状态变量描述，三个状态变量构成三维相空间。其电路原理图如图2.33所示。

经典蔡氏电路的结构分为两部分，即线性部分与非线性部分。线性部分包含一个电阻、一个电感与两个电容，用它们构成电路数学模型的微分方程动态部分；非线性部分是由两个运算放大器构成的电路，是“两端器件”，是静态电压-电流型非线性器件，伏安特性曲线呈三折线形状，称为“蔡氏二极管”。非线性电路的伏安特性曲线分布在第二、四象限，是负电阻，像电池一样对外供电，是供能元件。两部分电路的能量传送关系是“蔡氏二极管”向线性耗能部分电路传送能量（有时也吸收能量），深入地看，这符合物理学中的耗散结构理论的数学模型。

蔡氏电路满足的微分方程是

式中

或

以上电路状态方程是根据电路原理图直接写出来的，从数学的角度来看没有“数学化”，也不便于使用计算机进行数值仿真。为便于研究，将上面的公式进行数学变量代换处理，成为无量纲的归一化公式[18]，即

式中

代入一组具体电路参数，归一化公式成为

式中

以后还要遇到标度化公式（2.24），这里暂时不列出。用EWB软件仿真的结果如图2.34所示。

对于经典蔡氏电路，使用示波器测量能够得到两个波形图与一个相图，仿真图与其中的仿真参数清晰图分别如图2.35和图2.36所示。

改变经典蔡氏电路中的线性电阻R值，电路输出相图的形态出现复杂的、差别很大的图形，蔡氏电路的混沌演变如图2.37所示，在专业术语中分别称为稳态不动点——稳定焦点，经典周期-周期1、周期2、周期4、周期8等倍分岔，第一次进入单涡旋混沌，周期3，周期6等第二次进入单涡旋混沌……双涡旋混沌、双涡旋周期、双涡旋混沌与周期……发散单叶周期（单叶周期实际是集成电路稳压电源限幅振荡，不是蔡氏电路的理论推导结果）。这个过程称为混沌演变，是混沌科学中的重要概念。