1.2 数制与编码
1.2.1 二进制数和十六进制数
数制即计数进位制。人们习惯于用十进制数，但有些场合也用其他进制数，如时间计数时，分秒的进位用60，即六十进制。在数字电路和计算机中，通常采用二进制数和十六进制数。
1.十进制数（Decimal Number）
主要特点如下。
①基数是10。有10个数码（数符）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
②进位规则是“逢十进一”。
所谓基数，是指计数制中所用到数码的个数。如十进制共有0～9十个数码，基数是10，进位规则是“逢十进一”。当基数为M时，便是“逢M进一”。在进位计数制中常用“基数”来区别不同的进位数。
十进制整数，其数值可表达为
[N]10中的下标10表示数N是十进制数，十进制数也可用[N]D表示。更多情况下，下标10或D可省略不标。
10i-1、10i-2、…、101、100称为十进制数各数位的权。
例如，1234=1×103+2×102+3×101+4×100
2.二进制数（Binary Number）
主要特点如下。
①基数是2。只有两个数码：0和1。
②进位规则是“逢二进一”。
二进制整数，其数值可表达为
[N]2中的下标2表示数N是二进制数，二进制数也可用N B表示，尾缀B一般不能省略。
2i-1、2i-2、…、21、20称为二进制数各数位的权。
例如，10101011 B=1×27+0×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=171
为什么要在数字电路和计算机中采用二进制数呢？
①二进制数只有两个数码0和1，可以代表两个不同的稳定状态，如灯泡的亮和暗、继电器的合和开、信号的有和无、电平的高和低、晶体管的饱和导通和截止。因此，可用电路来实现两种状态。
②二进制基本运算规则简单，操作方便。
但是二进制数也有其缺点，数值较大时，位数过多，不便于书写和识别。因此，在数字系统中又常用十六进制数来表示二进制数。
3.十六进制数（Hexadecimal Number）
主要特点如下。
①基数是16。有16个数码：0、1、…、9、A、B、C、D、E、F。其中A、B、C、D、E、F分别代表10、11、12、13、14、15。
②进位规则是“逢十六进一”。
十六进制整数，其数值可表达为
[N]16中的下标16表示数N是十六进制数，十六进制数也可用N H表示，尾缀H一般不能省略。
16i-1、16i-2、…、161、160称为十六进制数各位的权。
例如，AB H=10×161+11×160=160+11=171
十六进制数与二进制数相比，大大缩小了位数，缩短了字长。一个4位二进制数只需要用1位十六进制数表示，一个8位二进制数只需用两位十六进制数表示，转换极其方便，例如，上例中AB H=10101011 B=171。
十六进制数、二进制数、十进制数对应关系表如表1-1所示。
表1-1 十六进制数、二进制数和十进制数对应关系表
需要指出的是，除二进制数、十六进制数外，早期数字系统中还推出过八进制数，现早已淘汰不用。
1.2.2 不同进制数间相互转换
1.二进制数、十六进制数转换为十进制数
二进制数、十六进制数转换为十进制数只需按式（1-2）、式（1-3）展开相加即可。为了便于快速转换，读者应熟记二进制数和十六进制数部分常用位权（如表1-2所示），对进一步学习数字电路后续内容大有帮助。
2.十进制整数转换为二进制数
十进制整数转换为二进制数用“除2取余法”。即用2依次去除十进制整数及除后所得的商，直到商为0止，并依次记下除2时所得余数，第一个余数是转换成二进制数的最低位，最后一个余数是最高位。
表1⁃2 常用位权
【例1-1】将十进制数41转换为二进制数。
解：
因此，41=101001B
3.十进制整数转换为十六进制数
十进制整数转换为十六进制数用“除16取余法”，方法与“除2取余法”相同。
【例1⁃2】将十进制数8125转换为十六进制数。
解：
因此，8125=1FBD H
4.二进制数与十六进制数相互转换
前述4位二进制数与1位十六进制数有一一对应关系，如表1-1所示。相互转换时，只要用相应的数值代换即可。二进制数整数转换为十六进制数时，应从低位开始自右向左每4位一组，最后不足4位用零补足。
【例1⁃3】
【例1⁃4】
1.2.3 二进制数加减运算
1.二进制数加法运算
运算规则：①0+0=0
②0+1=1+0=1
③1+1=10，向高位进位1
运算方法：两个二进制数相加时，先将相同权位对齐，然后按运算规则从低到高逐位相加，若低位有进位，则必须同时加入。
【例1⁃5】计算10100101 B+11000011 B
解：
因此，10100101 B+11000011 B=101101000 B
2.二进制数减法运算
运算规则：①0-0=0
②1-0=1
③1-1=0
④0-1=1，向高位借位1
运算方法：两个二进制数相减时，先将相同权位对齐，然后按运算规则从低到高逐位相减。不够减时可向高位借位，借1当2。
【例1⁃6】计算10100101 B-11000011 B
解：
因此，10100101 B -11000011 B =11100010 B（借位1）
读者可能感到奇怪的是，二进制数减法怎么会出现差值比被减数和减数还要大的现象？在数字电路和计算机中，无符号二进制数减法可无条件向高位借位，不出现负数（二进制负数另有表达方法，不在本书讨论范围）。实际上该减法运算是110100101 B-11000011 B。
3.二进制数移位
二进制数移位可分为左移和右移。左移时，若低位移进位为0，相当于该二进制数乘2；右移时，若高位移进位为0，移出位作废，相当于该二进制数除以2。
例如，1010 B左移后变为10100 B，10100 B=1010 B×2；1010 B右移后变为0101 B，0101 B=1010 B/2。
1.2.4 BCD码（Binary Coded Decimal）
人们习惯上是用十进制数，而数字系统必须用二进制数分析处理，这就产生了二-十进制代码，也称为BCD码。BCD码种类较多，有8421码、2421码和余3码等，其中8421 BCD码最为常用。8421 BCD码用[N]8421BCD表示，常简化为[N]BCD。
1.编码方法
BCD码是十进制数，逢十进一，只是数符0～9用4位二进制码0000～1001表示而已。8421 BCD码每4位以内按二进制进位；4位与4位之间按十进制进位。其与十进制数之间的对应关系如表1-3所示。
但是4位二进制数可有16种状态，其中1010、1011、1100、1101、1110和1111六种状态舍去不用，且不允许出现，这6种数码称为非法码或冗余码。
2.转换关系
（1）BCD码与十进制数相互转换
由表1-3可知，十进制数与8421 BCD码转换十分简单，只要把数符0～9与0000～1001对应互换就行了。
【例1⁃7】
【例1⁃8】
（2）BCD码与二进制数相互转换
8421 BCD码与二进制数之间不能直接转换，通常需先转换为十进制数，然后再转换。
【例1⁃9】将二进制数01000011B转换为8421 BCD码。
表1⁃3 十进制数与8421 BCD码对应关系
解：01000011B=67=[01100111]BCD
需要指出的是，决不能把[01100111]BCD误认为01100111 B，二进制码01100111 B的值为103，而[01100111]BCD的值为67。显然，两者是不一样的。
【复习思考题】
1.5 为什么要在数字系统中采用二进制数？
1.6 二进制数有什么缺点？如何改善？
1.7 二进制数减法，为什么有时差值会大于被减数？
1.8 什么叫BCD码？为什么在数字系统中要引入BCD码？
1.9 BCD码与二进制码有否区别？如何转换？