第5章 电网络分析[6,7]

5.1 电路分析的基本方法

87 电路分析

已知电路结构和元件参数，从而求出电路中的电压、电流，或求出电路中激励与响应之间的关系等，这类问题称为电路分析。通常将独立电源（电压源或电流源）称为激励，而由激励在电路中产生的电压、电流称为响应。电路分析的基本依据是基尔霍夫电流定律（KCL）、电压定律（KVL），及元件的伏安关系（VCR）。

线性电路分析方法可归纳为三类：1）利用基尔霍夫定律和元件VCR进行直接计算，如支路电流法，回路电流法，节点电压法等；2）利用线性电路的特性，如应用叠加定理、等效发电机定理等进行计算；3）利用等效电路的概念，如电阻的△联结与联结等效变换，电压源与电阻的串联组合对外等效为电流源与电阻的并联组合等。

适用于线性电阻电路的上述方法，用相量法就可推广应用于正弦电流电路。

88 电阻的△联结与联结等效变换

等效变换的条件是：当对应的三个端钮间加上相同的电压时，流入对应端钮的电流应相等。

电阻△联结与联结等效变换见图2.5-1。图中已知联结的三个电阻R₁，R₂，R₃，则等效△联结的三个电阻R₁₂，R₂₃，R₃₁为

当时，。

已知△联结的三个电阻R₁₂，R₂₃，R₃₁，则等效联结的三个电阻R₁，R₂，R₃为

当R₁₂=R₂₃=R₃₁=R_△时，R₁=R₂=R₃=R_△/3。

89 支路法

以支路电流为未知量，应用KCL和KVL列写出与支路电流数目相等的独立方程，从而解出各支路电流，称为支路电流法。

90 回路（网孔）电流法

以沿着l个[l=b-（n-1）]独立回路环流的假想的回路电流为未知量，应用KVL列出l个独立回路电流方程，从而解出各回路电流，称为回路电流法。由于电路电流本身的连续性，故它能自动满足KCL，与支路电流法相比，回路电流法的独立方程数减少了（n-1）个。对平面电路，以网孔电流作为未知量列出方程，称为网孔电流法。

91 节点法

对具有n个节点的电路，任选一个节点作为参考节点，其余（n-1）个节点相对参考节点之间的电压为节点电压。以节点电压为未知量，应用KCL列出（n-1）个独立节点电压方程。从而解得各节点电压，称为节点电压法。各节点电压自动满足KVL。

92 叠加定理

在线性电路中，任意一条支路电压（或电流）都是各个独立源单独作用于电路时，在该支路产生的电压（或电流）的代数和。

在线性系统中，凡是能够用数学的一次表达式描述其相互关系的物理量都具有可叠加性；所以叠加定理仅适用于线性电路中的电压或电流响应，不适用于功率。

在线性电阻电路中，响应与激励之间的线性关系为

式中 y——电压或电流响应；

U_si——独立电压源的电压；

I_sj——独立电流源的电流；

α_i，β_j——由电路结构和元件决定的常数。

93 戴维南定理和诺顿定理

（1）戴维南定理 图2.5-2a所示的任意一个线性含源一端口网络，对外可用一个电压源和一个电阻的串联组合等效替代（见图2.5-2b）。其中电压源的电压等于含源一端口网络的开路电压U_oc，电阻R_eq为含源一端口网络内部所有独立源为零值时的输入电阻。

（2）诺顿定理 任意一个线性含源一端口网络，对外可用一个电流源与一个电阻的并联组合等效替代（见图2.5-2c）。其中电流源等于含源一端口网络端口的短路电流I_sc；电阻R_eq为含源一端口网络里所有独立源为零值时的输入电阻。

戴维南等效电路与诺顿等效电路之间的等效互换关系为

94 特勒根定理

特勒根定理是电路理论中一个普遍适用的定理。

（1）特勒根定理1 对一个具有n个节点和b条支路的网络，令列向量i和u分别表示支路电流和支路电压，即i=[i₁i₂…i_b]T，u=[u₁u₂…u_b]T，且假设各支路电流、电压的参考方向一致，则对任何时间t，有

特勒根定理1的实质是功率守恒的具体体现。

（2）特勒根定理2 如果有两个网络N和，它们由不同的二端元件所构成，但它们的图完全相同，设它们的支路电流和支路电压列向量分别用i、u和、来表示，则对任何时间t，有

特勒根定理2仅仅是对两个具有相同拓扑结构的网络，一个网络的支路电压和另一个网络的支路电流（或不同瞬间的同一网络的相应支路电压和电流）所必须遵循的数学关系。

95 互易定理

任一线性无源网络在单一激励的情况下，若将该网络的激励和响应互换位置且保持激励值不变，则该网络的响应值也保持不变。互易定理共有三种形式。

5.2 线性动态电路

96 动态电路

含有储能元件的电路。描述线性动态电路动态过程的方程是常系数线性常微分方程，微分方程的阶数n就是电路中作为电路变量的动态元件电压或电流的独立初始条件的个数。对应的电路称为n阶电路。动态电路求解的基本方法有两种：1）经典解法，整个求解过程在时域中进行；2）运算法，用拉氏变换将时域分析问题转化为复频域分析问题，具体是将时域中的线性常微分方程转化为复频域中的复系数的代数方程求解。动态电路的解分为零输入响应、零状态响应、全响应，或暂态分量（自由分量）、稳态分量（强制分量）。

97 线性动态电路的电路变量初始值

动态电路中开关的接通或断开，元件参数的变化等所引起的电路结构突然改变，统称为换路。将电路换路的时刻记为t=0，电路换路前一瞬间记为t=0_-，把电路换路后一瞬间记为t=0₊。在换路的一瞬间

若电容电流为有限值时，则u_C（0₊）=u_C（0_-），q（0₊）=q（0_-）

若电感电压为有限值时，则i_L（0₊）=i_L（0_-），Ψ（0₊）=Ψ（0_-）

显然，u_C（0_-）和i_L（0_-）应根据换路前电路状态来计算确定。

电路变量的初始值是指电路变量在t=0₊时的值。初始值是确定微分方程一般解中积分常数所必需的条件。

98 一阶电路及其时间常数

只含有一个储能元件的电路通常称为一阶电路。一阶电路的时间常数τ决定了电路所有响应中自由分量的衰减速度，对于含一个电阻和一个电容的一阶RC电路，τ=R₀C；对于含一个电阻和一个电感的一阶RL电路，τ=L/R₀。

99 零输入响应、零状态响应、全响应

电路中激励为零，仅由储能元件的初始储能所产生的响应，称为零输入响应；当电路中储能元件的初始值为零，仅由激励产生的响应称为零状态响应；由激励和储能元件初始值共同产生的响应被称为全响应。全响应中与激励变化规律相同的分量，称为稳态分量或强制分量，按指数规律衰减变化的分量，称为暂态分量或自由分量。

100 一阶动态电路的求解

响应y（t）的一般表示式为

式中 y_s（t）——响应的稳态分量；

y_s（0₊）——稳态分量在t=0₊时的值；

y（0₊）——响应y（t）的初始值；

τ——时间常数。

101 一阶电路的阶跃响应和冲激响应

一阶电路在零初始条件下由单位阶跃激励产生的响应称为一阶电路的阶跃响应。其求解方法与求解一阶电路的零状态响应相同。

一阶电路在零初始条件下由单位冲激激励产生的响应称为一阶电路的冲激响应。由于冲激函数是阶跃函数的一阶导数，所以冲激响应是阶跃响应的一阶导数。

102 运算法

是用拉氏变换分析线性电路中动态过程的一种常用方法，它能直接求出符合给定初始条件的解。运算法的步骤如下：1）根据给定电路作出运算电路图，其基本电路元件的等效运算电路见表2.5-1；如果电路中有受控源，其控制量要用象函数表示；2）选用合适的分析方法，节点法、回路法等，求出响应的象函数；3）进行反变换，求出时域响应。

103 网络函数

（1）网络函数H（s）定义如下：

式中 R（s）——零状态响应r（t）的象函数；

E（s）——单一激励e（t）的象函数。

激励E（s）可以是电压源，也可以是电流源，响应R（s）可以是电流，也可以是电压，在激励与响应的位置都确定的情况，网络函数仅取决于电路结构和元件参数。当激励和响应在同一端口时，相应的网络函数H（s）为驱动点函数，否则称为转移函数。

（2）网络的单位冲激响应h（t）

h（t）=L-1[H（s）]H（s）=L[h（t）]

可见网络函数与冲激响应成拉氏变换对。

（3）卷积积分 已知H（s），则可求出任意激励作用下的零状态响应：

此式称为卷积积分。

5.3 电路图论

104 电路的图

（1）图的定义 一个图（G）是节点和支路的集合，每条支路都连接在相应的节点上。如果图中各支路都有确定的方向（规定支路的方向就是支路电流的方向，也是支路电压的方向），称为有向图。

图2.5-3说明怎样把一个给定的电路画成所对应的图G；这里G的每一条支路代表一个电路元件。有时，为了需要可以把某些元件的串联组合或并联组合作为一条支路来处理。

（2）子图、回路和连通图 1）子图若图G₁的每个节点和每条支路都是图G的节点和支路，就称G₁为G的一个子图；2）回路 图G中任一闭合路径，且路径上每个节点所关联的支路数都是2；3）连通图图G的任意两个节点之间至少存在一条支路，称图G为连通图。

（3）树 是连通图G的一个子图，用T表示，1）它是连通的，2）它包含了G的所有节点，3）它没有构成回路，则称T为G的一个树。构成树的支路称为树支，树支数为（n-1），G的其余支路称为连支，连支数为（b-n+1），其中n为节点数，b为支路数。

（4）平面图 可画在平面上，是支路仅在节点相交的图（见图2.5-3b）。网孔是平面图的一个自然的“孔”。

（5）割集Q 是连通图G的一个有关支路的集合，移去Q中的全部支路，将使图G分离为两个部分，但若少移去任意一条支路，图G仍是连通的，则称Q为图G的一个割集。

105 关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵

（1）关联矩阵A 表示图G中节点与支路的关联关系，设节点数为n、支路数为b，则A是一个（n-1）×b阶矩阵，矩阵的元素用a_ij表示，当支路j与节点i关联，支路j的方向背离节点i时，a_ij=+1，指向节点i时，a_ij=-1，支路j与节点i不关联时，a_ij=0。在A中未列出的那个节点为参考节点。

KCL、KVL可用A来表示：

式中 i_b——支路电流列向量；

u_b——支路电压列向量；

u_n——节点电压列向量。

（2）基本回路矩阵B_f 表示了回路与支路的关联关系。对于网络的图，先选一个树，每连一个连支就构成一个单连支回路，称为基本回路。该回路的绕行方向就是所含连支的方向。一个图共有l=（b-n+1）个基本回路，其B_f为l×b阶矩阵。写B_f时，其支路编号次序为先连支，后树支（反之亦可）。其矩阵元素用b_ij表示。当支路j在基本回路i之中且j的方向与i的绕行方向一致时b_ij=1，方向相反时b_ij=-1，若支路j不在回路i中，则b_ij=0。

KCL、KVL、可通过B_f来表示：

式中 i_l——基本回路中的回路电流列向量，即连支电流列向量。

（3）基本割集矩阵Q_f 表示了割集与支路的关联关系。在图G中先选一个树，每个割集只能含一个树支和有关的连支，称为单树支割集，即基本割集。每个割集的方向就选为所含的树支的方向。一个图G共有（n-1）个基本割集，其矩阵Q_f为（n-1）×b阶矩阵。其元素用q_ij表示。当支路j在基本割集i中，且支路j与割集i的参考方向一致时，q_ij=+1，反之q_ij=-1，当支路j不在割集i中，q_ij=0，对于基本割集矩阵Q_f，支路编号次序为先树支后连支（反之亦可）。

KCL、KVL可用Q_f来表示：

式中 u_t——树支电压列向量。

106 节点电压方程的矩阵形式

在大规模网络的计算机辅助分析中，是用系统化的方法来建立电路方程的矩阵形式。以节点电压方程为例，用相量表示的矩阵为

式中 Y——支路导纳矩阵；

——节点电压列向量；

——由独立电源引起流入节点的电流列向量；

Y _n ——节点导纳矩阵。

在大型网络的机辅分析中，只要将有关网络拓扑结构和元件类型、参数的原始数据输入计算机，就能自动地建立电路方程并求解。

107 状态方程

状态方程是用状态变量来描述动态电路特性的一组独立的一阶微分方程。其矩阵形式为

式中 X（t）=[x₁（t），x₂（t）…x_n（t）]T——状态向量，其中的元素为状态变量；

V（t）=[v₁（t）、v₂（t）…v_m（t）]T——输入向量，其中的元素为网络中的m个独立电源；

A（n×n）、B（n×m）——由网络结构和元件参数决定的系数矩阵。对线性动态网络，一般取电容电压（或电荷）和电感电流（或磁通链）为状态变量。

108 列表法

该法对网络支路类型没有过多的限制，其适应性很强，且网络方程易于建立，如同填写表格一样。这里仅介绍节点列表方程的矩阵形式。列表法规定：一个元件一条支路。节点列表方程的矩阵形式为

式中 A——电网络的图 G的（n-1）×b阶关联矩阵；

F和H——取决于网络元件的b阶方阵；

——独立节点电压列向量；

——支路电压列向量；

——支路电流列向量；

，——b阶电压源列向量和b阶电流源列向量，1_b是b阶单位矩阵。

109 计算机仿真技术

随着电路的规模和复杂度不断增加，很多电路的分析已无法通过人工来完成。需要借助计算机进行仿真和分析。

电路的计算机仿真对象一般是难以人工分析的电路，通常是非线性电路，或者是线性电路，但规模相对较大。不过，由于电路易于进行计算机仿真，有时为了快速得到结果，或者对手工计算结果进行验证，即使是简单的线性电路，人们也可能进行计算机仿真。

电路的计算机仿真软件非常多，例如PSpice、Multisim、MATLAB、PSCAD等。不同的仿真软件具有不同的特点，限于篇幅，仅对几种常用的电路仿真软件做扼要的介绍。

PSpice是发布较早的电路仿真软件，主要用于电子电路，对电路元件的建模与实际比较接近，但是仿真速度相对较慢，目前使用已越来越少。

Multisim是目前使用较多的电路仿真软件，简明易用，非常适合用于教育领域。大多数电路都可以用Multisim仿真，不过对于非常复杂的大规模电路，Multisim仿真能力有限。

MATLAB是一个通用的数学软件，其自带的Simulink仿真平台可以仿真各类系统。如果用于电路仿真，需要用到Simpowersystem工具箱。由于MATLAB自身是一个数学软件，所以基于MATLAB的Simulink电路仿真具有模型清晰，可以建立任意复杂电路模型的优势，并且在仿真数据后处理方面功能也十分强大。不过MATLAB/Simulink电路仿真毕竟不是专业的电路仿真软件，仿真速度相对较慢，这限制了其在大规模复杂电路仿真中的应用。

PSCAD是世界上广泛使用的电磁暂态仿真软件，非常适合进行大规模复杂电路的仿真。PSCAD是专业的仿真软件，在仿真速度方面具有较大的优势。相对于MATLAB/Simulink而言，PSCAD电路模型构建的灵活性略差，数据后处理能力也略差。相对于Multisim而言，PSCAD的简明易用性略差。

无论采用哪种电路仿真软件，电路的计算机仿真过程都是类似的。主要包括以下6个步骤：

1）确定电路原理图。

2）根据电路原理图选择或构建电路仿真需要用到的元件模型。绝大部分电路仿真用到的元件模型都可以在仿真软件的元件库中找到，但对于少数特殊的电路元件，如果在元件库中找不到对应的元件模型，那么可以根据特殊元件的数学模型在软件中构建相应的电路元件模型。

3）根据电路原理图和仿真元件模型建立完整的电路仿真模型。这一步是电路仿真过程中最关键的一步，也是工作量最大的一步。

4）确定电路模型的测量位置，并放置相应的虚拟测量仪器。电路仿真可以通过虚拟仪器测量任意位置的电压、电流等电路物理量。但是，测量位置过多会使得内存需求增大，并且会使得仿真系统看起来十分混乱。因此，应根据不同电路的需要来选择合理的测量位置。

5）进行电路仿真，如果仿真出错，需要根据错误提示对仿真模型进行修改。这一步是电路仿真中最耗时的一步。如果出错，大多数是因为第3）步建立电路仿真模型时不够细心或不够合理导致。

6）最后一步是查看仿真结果，必要时还要对仿真结果做进一步数据处理。一般说来，通过电路仿真软件的虚拟测量仪器和数据分析功能就能得到想要的电路仿真结果。不过，如果电路仿真软件不具备某些数据分析功能，或者对于仿真图形有特别的格式要求，此时需要将仿真结果存储为数据矩阵，然后通过MATLAB等软件对仿真数据做进一步处理。

电路的计算机仿真不是简单地将元件模型连接起来就能得到正确的仿真结果。要想高效准确地进行电路的计算机仿真，需要注意以下事项：

1）要注意不同电路仿真软件的具体要求。例如Multisim要求一定要将接地符号放置在电路模型中，而人们在绘制电路原理图时，并不一定会标出接地符号。

2）要注意仿真步长的选择。电路仿真本质上是通过数值方法进行计算，因此所有电路仿真都涉及仿真步长的选择。仿真步长可以选择变步长或定步长，两者各有优缺点。变步长适用于电路相对简单的情况，此时步长较大时也可以获得较高的仿真精度。但是，如果电路非常复杂，变步长很可能为了达到期望仿真精度而大幅度增加仿真时间。随着计算机计算能力的大幅度提高，目前对于复杂电路的仿真一般采用定步长。定步长简单明了，仿真时间易于控制。如果对仿真精度要求低，步长可以大一点；如果对仿真精度要求高，步长可以小一点。建议初步仿真时用相对较大的步长，如果发现仿真结果与预期结果一致，就不需要用较小的步长，这样可以节省仿真时间。如果发现仿真结果与预期结果明显不一致，再将仿真步长逐步减小，直到仿真结果与预期结果一致为止。

3）建立复杂电路的仿真模型时，建议采用模块化分层次的结构。复杂电路仿真模型建立时，建议先搭建总体框架，整个系统由多个大的模块组合而成。每个大的模块再由若干个小的模块组成，每个小的模块可以进一步细分为更小的模块，直至最小的模块由电路元件模型组成。这样的建模过程思路清晰，界面整洁，易于仿真调试。

5.4 二端口

110 二端口网络的基本方程和基本参数

若一个网络有两对与外电路相连接的端钮（见图2.5-4），每一对端钮形成一个端口，对一个端口流进的电流必等于流出的电流，这种网络统称为二端口网络。

表示两个端口处的电压、电流关系的方程称为二端口网络的基本方程，方程中自变量前的系数称为二端口网络的基本参数，它取决于二端口网络的结构和元件参数。其基本方程有六种形式。这些反映同一个二端口网络端口特性的基本方程和基本参数可以互相转换。常用的四种基本方程见表2.5-2。

当线性二端口网络中无受控源时，这种线性无源二端口网络端口特性具有互易性，也就是说当激励和响应互换位置时，并不改变同一激励所产生的响应。对凡具有互易性的二端口网络只有三个参数是独立的。若二端口网络的两个端口互换位置后与外电路连接，其端口电气性能相同，则称此二端口网络是对称二端口网络，对称二端口网络只有两个参数是独立的。

111 二端口网络的等效电路

两个结构不同的二端口网络，若它们的基本参数相同，就称这两个二端口网络端口特性对外等效。具有互易性的二端口网络只有三个独立参数，其最简单的等效电路将由三个元件组成，且只有两种可能的形式，即Π形电路和T形电路，见图2.5-5。

112 二端口网络的联接

二端口网络三种基本联接方式见图2.5-6。

在正确的串、并联方式中，应使每个二端口网络满足端口条件，即进出每个端口的电流相等。如将基本参数写成矩阵形式：

则复合二端口网络与部分二端口网络的关系为

级联　T=T₁T₂

并联　Y=Y₁+Y₂

串联　Z=Z₁+Z₂

5.5 非线性电路

113 非线性元件

电路元件的参数与电压或电流有关，就称为非线性元件，含有非线性元件的电路称为非线性电路。

（1）非线性电阻 电阻元件的伏安特性曲线不是一条通过坐标原点的直线，这种电阻元件称为非线性电阻。当非线性电阻的伏安特性函数关系表示为u=f（i）时，电阻两端电压是其电流的单值函数。这种电阻称为电流控制的非线性电阻。当非线性电阻的伏安特性函数关系表示为i=g（u）时，电阻中的电流是两端电压的单值函数。这种电阻称为电压控制的非线性电阻。另一种非线性电阻属于“单调型”，其伏安特性是单调增长或单调下降的。它同时是电流控制又是电压控制的。

非线性电阻的静态电阻：

动态电阻：

（2）非线性电容 电容元件的库伏特性曲线不是一条通过坐标原点的直线，这种电容元件称为非线性电容。当非线性电容元件的电荷-电压关系式为q=f（u），即电荷是电容电压的单值函数。此电容为电压控制的电容。当非线性电容元件的电荷-电压关系式为u=h（q），即电容电压是电容电荷的单值函数。此电容为电荷控制的电容。

非线性电容的静态电容：

动态电容：

（3）非线性电感 非线性电感元件的韦安特性曲线不是一条通过坐标原点的直线，这种电感元件称为非线性电感。当非线性电感元件的电流与磁通链关系式为i=h（Ψ），此电感称为磁通链控制的电感。当非线性电感元件的电流与磁通链关系式为Ψ=h（i），此电感称为电流控制电感。多数的实际非线性电感元件是由铁磁材料制成的，由于铁磁材料的磁滞现象，它的Ψ-i特性具有回线的形状，此电感既非电流控制又非电压控制。

非线性电感的静态电感：

动态电感：

114 非线性电阻电路

含有非线性电阻元件的电阻电路称为非线性电阻电路。基尔霍夫定律KCL和KVL是编写非线性电阻电路方程的两条基本定律。在编写电路方程时，同时要考虑表征元件特性的方程。采用表格法或改进节点分析法，可以编列非线性电阻电路的方程，结果得到一组非线性代数方程。它一般无闭式解析解，工程上主要采用图解法、数值分析法（如牛顿-拉夫逊算法）、分段线性化法、小信号分析法等近似方法求解。

115 非线性动态电路

含有储能元件（电感和电容）的非线性电路称为非线性动态电路。其中含有非线性储能元件的一阶电路称为一阶非线性电路。基尔霍夫定律KCL和KVL是编写一阶非线性微分方程的两条基本定律。在编写电路方程时，同时要考虑表征非线性储能元件特性的方程。

当一阶非线性微分方程为

该式显含时间t，称为一阶非线性非自治微分方程。

该式不显含时间t，称为一阶非线性自治微分方程。在已知状态的初始值x（0）的条件下，式（2.5-1）或式（2.5-2）的解，可通过下列方法求得：1）数值分析法；2）分段线性化法；3）图解法。