1.1.3　n阶行列式

有了排列的一些基础知识,就可以在分析三阶行列式表达式特点的基础上,给出n阶行列式的定义.

由式1-2可以看出,每一项都是取自不同行不同列的3个元素的积.在书写时,可以把每项元素的行标排成123自然排列,得到

(1-3)

行标排成123自然排列,3个元素的乘积可以表示为

a1j1a2j2a3j3

(1-4)

由于3个数j1j2j3为三级排列共有6个,正好可以用来决定三阶行列式6项的符号.现在分析式1-3中的一、二、三项为什么带正号,四、五、六项为什么带负号?可以看出,符号与列标排列j1j2j3的逆序数有关.显然123,231,312都为偶排列,321,213,132都为奇排列.当j1j2j3为偶排列时前面带正号,相反带负号.故每项前所带符号可以表示为(-1)τ(j1j2j3).从而,三阶行列式可以表示为所有取自不同行、不同列的三个元素乘积a1j1a2j2a3j3的代数和,即

(1-5)

其中,∑表示把所有通项(-1)τ(j1j2j3)a1j1a2j2a3j3加起来,而j1j2j3要取完所有三级排列.

定义3　由n2个数排成n行n列的数表,并规定数表的运算规律所构成的记号

(1-6)

称为n阶行列式.行列式可用字母D表示,有时也记为det(aij)或|aij|,这里称aij为行列式的元素,其他符号与三阶行列式意义相同.

n阶行列式的定义具有如下特点:行列式由n!项求和组成;每项是取自不同行、不同列的元素乘积,每项各元素行标按自然数顺序排列后就组成了行列式的一般项(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn;在行标按自然数顺序排列下,各项前的符号由列标排列的奇偶性确定,即由(-1)τ(j1j2…jn)确定.若排列j1j2…jn为奇排列则此项取负号,若排列j1j2…jn为偶排列则此项取正号,故行列式项的符号正负各半.

定理3　n阶行列式也可定义为

(1-7)

其中,t为行标排列p1p2…pn的逆序数,

证明　由行列式的定义

式1-7记为

由行列式定义的特点知:对于D中的每一项(-1)ta1p1a2p2…anpn,总有且仅有D1中某一项(-1)saq11aq22…aqnn与之对应并相等;反之,对于D1中的每一项(-1)tap11ap22…apnn,也总有且仅有D中某一项(-1)sa1q1a2q2…anqn与之对应并相等;于是D与D1中的项是一一对应关系且相等,所以D=D1.

n阶行列式在n>3时,不能使用对角线法则计算.

例5　计算行列式的值

解　此行列式中有很多元素为0,则通项a1j1a2j2…anjn中就有很多项为0,我们只需找出所有元素都不为0的项加起来即可.

由于每项取自不同的行与不同的列,第一行只有选a14才不为0,第二行只有选a23,第三行只有选a32,第四行只有选a41.这样4!=24项中,只有a14a23a32a41不为0,故行列式的值为