1.3 国内外确定大地水准面的进展和现状
确定地球重力场，理论上归结为求解相对一个正常重力场的扰动位，即求解大地测量边值问题；实用上在于确定全球扰动位和大地水准面模型，大地水准面至正常椭球面的高度是该面上扰动位的几何度量，度量因子为正常重力值。在此意义上，求解扰动位和确定大地水准面是一致的。近20年来大地测量边值问题的理论虽然有了很大的发展，但仍然是以Molodensky问题为中心展开的，其中包括：自由Molodensky边值问题；边值问题的非线性理论、非线性解和二次逼近理论；测高—重力混合边值问题；重力梯度边值问题；超定边值问题；等等。这些基础理论成果大部分在实用上仍然是以Krarup给出的线性化Molodensky问题边值条件为基础，大都采用Molodensky级数零阶项（Stokes积分）加一阶项（顾及地形效应的G1项积分）。包括我国在内的世界上许多国家采用此理论导出了似大地水准面，从而避开了地壳密度的不均匀以及正高不可测的难题。但是，似大地水准面无明显物理意义，将似大地水准面转换为大地水准面，通常采用以Bouguer（布格）异常表达的一次近似公式，而在山区，则要考虑二次项，其中又重新包含了地壳密度、重力异常梯度等，而实用上目前还未顾及此项，这可能引起厘米级的误差。边值问题基础理论的另一重要进展是在重力场表达和分析中引入了随机过程概念和统计方法，提出和发展了重力场逼近的最小二乘配置法，并已在理论上完成了配置法与解析法多种等价性证明，实践中已得到比较广泛的应用。
20世纪90年代以来，世界各国和各地区大地水准面的精化有了很大进展，分辨率和精度水平提高了一个数量级，它的巨大应用和科学价值是其迅速发展的推动力，21世纪，大地测量工作者仍需不懈努力。下面以欧洲、美国、加拿大、澳大利亚和中国为例，简单介绍国家或地区的大地水准面精化发展概况。
欧洲地区大地水准面的计算始于20世纪80年代初，第一代欧洲重力大地水准面EGG1和EAGG1精度为几分米，分辨率约20km，其中EAGG1比EGG1多了天文重力水准资料，精度略优。1990年，IAG大地水准面欧洲分委会制订并启动欧洲大地水准面计划，建立了包括270万个点重力值（海洋重力空白采用ERS-1重力异常值填补）和7亿个地形数据的数据库，其中地形数据被处理为7.5′×7.5′格网数据。从1994年开始，欧洲先后推出EGG94、EGG95、EGG96和EGG97系列欧洲重力似大地水准面模型（欧洲采用正常高高程系统）。这些重力似大地水准面均按移去—恢复方法计算，参考场模型在EGG94～EGG96中采用GEM-T2、OSU91A以及OSU91A与JCM3的联合，在EGG97中采用EGM96模型；短波分量采用残差地形模型（RTM）归算，地面重力数据分辨率优于10km，残差重力异常用快速最小二乘推估法形成1.0′×1.5′的格网数据。相应的残差高程异常采用Wenzel的最小二乘频谱组合法计算，由位系数和重力值的误差阶方差定义谱权，其中重力值的零阶方差取为4mGal2。所得重力似大地水准面与GPS/水准确定的似大地水准面进行最小二乘配置法拟合，其中趋势项简单模拟为坐标原点平移量Δx、Δy、Δz对大地水准面高的影响。有学者认为长波误差主要来自参考重力场模型和重力数据的长波误差及其彼此间的不一致，因此用最小二乘配置法处理为宜。EGG97用1.0′×1.5′格网表示，分别与德国的GPS网NDS92（300km）、法国的GPS网RBF（1000km）以及横贯欧洲的GPS导线（3000km）进行比较，研究表明中、长波系统误差为±8.0cm，短波误差信号为±1.3cm（Denker et al.，1994，1996，2000）。
美国在20世纪90年代前期先后推出了GEOID90、GEOID93和分辨率为3′×3′的G9501区域大地水准面模型，三个模型的计算方法基本相同。现行高程基准为NAVD88，采用Helmert正高高程系统（Heiskanen et al.，1967）。Rapp给出了由OSU91A位系数直接计算高程异常的公式，在G9501的计算中，首先按Molodensky级数计算高程异常，再转换为大地水准面高。地面重力值的归算采用顾及局部地形改正的Bouguer改正，应用一种“张力连续样条”方法内插形成3′×3′的Bouguer异常格网值，然后对这一格网值利用格网平均方法恢复移去的Bouguer片，形成Faye（法耶）异常格网值。其值近似于地形面重力异常加G1项改正，由Faye异常值中移去OSU91A的模型重力异常，并对残差重力异常按莫洛金斯基级数零阶项公式（Stokes公式）求解，从而得到残差高程异常。接着再恢复OSU91A模型高程异常得到最后解，最后再利用简单Bouguer改正，将高程异常转换为大地水准面高。计算G9501采用了180万点重力数据，其中包括DMA（美国国防制图局）采集和收集的数据，海洋空白区用OSU91A模型重力值填充，标称精度为1mGal；DTM来自由1:250000地形图产生的30″×30″点地形数据库（T0PO30），一般地区精度为30m，山区为50m。OSU91A模型大地水准面误差在美国陆地为±38cm，在海洋为±26cm。G9501与美国的GPS联邦基准网（FBN）和各州建立的合作基准网（CBN）的GPS/水准大地水准面作了比较和拟合。美国GPS基准网属于北美坐标系NAD83，这个坐标系与当时的ITRF93（1995.0）GRS80椭球不一致，进而产生椭球高差达-1.64～-0.28m，平均倾斜率约为3×10-7；而NAVD88基准被验证在全球大地水准面（W=W。=U。）之下72cm；G9501与GPS/水准大地水准面的平均偏差为-32.8cm，倾斜率为3.6×10-7（方位角为322°），差值的均方差为±24.8cm。其中-32.8cm的平均偏差大致是GPS椭球高平均偏差（约-100cm）与NAVD88基准偏差（-72cm）之差。消去这一系统偏差后的G9501与GPS/水准大地水准面之差的经验协方差函数具有L=500km的相关长度和C。=0.185m2的方差，用此残差由30′×30′格网按最小二乘配置法推估残余误差信号，其中经迭代确定了观测值的噪声方差为6.5cm2，对G9501进行改正得到一个校正大地水准面模型G9501C。对该模型的残差再拟合出一个经验协方差函数，可得相关长度为L=40km、C。=0.026m2，表明了两个不同波段的误差源，一个约500km的长波误差源，一个约40km的短波误差源，G9501C精度为±2.6cm，它不是一个“地心”大地水准面，其重要意义在于将NAD83的垂直基准和NAVD88基准建立联系，使之可用于美国GPS正高的测定。20世纪90年代中后期美国对精化其局部大地水准面作了进一步努力，主要是大力扩展GPS/水准网，提高其分辨率和精度。在G9501C的基础上，接着推出了GEOID96 2′×2′模型和重力大地水准面G96SSS，采用的GPS/水准点增加到2951个。GEOID96比G9501C分辨率有所提高，但精度相近，比后者略有改进，利用该模型由GPS椭球高确定正高的精度为±5.5cm。GEOID99比GEOID96有较大改善，分辨率提高到了1′×1′；计算的重力大地水准面模型G99SSS覆盖面积向周边地区扩大，采用的重力数据增加到260万个；DTM也有改进，采用了新的1″×1″DTM和NGSDEM99；确定GEOID99使用的GPS/水准网点大幅增加，达6195点，对大部分旧的GPS点进行了重测，GPS椭球高的精度达到±1cm；计算方法上也相应采取了一些严密化措施，包括采用新的格网化椭球改正（GEOID96未作椭球改正），为顾及子午线收敛影响采用多纬度带格网计算地形改正，同时采用最新的GM和W。值确定重力异常和大地水准面的零阶项Δg0和N0等。GEOID99的精度为±（2.0～2.5）cm，由GPS椭球高转换为正高的绝对精度为±4.6cm，任意距离两点高差的精度为±2.0cm。目前，美国最新公布的重力大地水准面为USGG2012，它是基于地面重力数据、DNSC08测高重力数据（Danish National Space Center）和高分辨率的SRTM3地形数据（Shuttle Radar Topography Mission）共同建立起来的。大地水准面的整体精度约为±3cm，其中西部山区的精度为±（5～8）cm，平原地区的精度优于±2cm，分辨率达到了1′×1′。另外，为了达到±（1～2）cm的高精度大地水准面的目标，进而取代现有的国家高程基准NAVD88，美国国家大地测量局（National Geodetic Survey，NGS）于2007年启动了美国垂直基准重新定义计划（Gravity for the Redefinition of the American Vertical Datum，GRAV-D），并在全美陆续展开航空重力测量任务。目前东部多数地区的飞行任务已经完成，而西部地区只有加州附近的局部区域可以获取数据，NGS预处理后的航空重力数据精度为±（2～3）mGal。
加拿大大地水准面模型GSD95的计算使用的参考位模型也是OSU91A，包括陆地和海洋重力数据共150万个。海洋上的重力测量空白区用卫星测高重力值补充，形成5′×5′重力异常格网值。加拿大与美国采用同一正高高程基准NAVD88，直接计算大地水准面高，数据归算过程首先是移去大地水准面外部全部地形质量（满足Stokes理论要求），地形质量的恢复采用Helmert（赫尔默特）的第二质量凝聚法，将移去的质量压缩到大地水准面上形成一薄层，由此得到大地水准面上的所谓Helmert重力异常ΔgH，其值为地面点重力值加完全Bouguer改正、凝聚重力改正（两改正数符号相反）以及空间改正，再减去对应椭球面上的正常重力值，将位模型重力异常值从ΔgH中移去，用最小二乘配置法将所得残差重力异常点值格网化，再按Stokes积分求解相应残差大地水准面高，积分区域为有限的数据覆盖域，适当确定积分半径使截断误差可略去，最后的大地水准面高为位模型大地水准面高与残差大地水准面高的和，再加地形移去和凝聚恢复产生的间接影响。GSD95模型与包括加拿大GPS基本网在内的10个网的746个GPS/水准点进行了比较，不符值的标准差为±（7～40）cm，平均偏差为-1.47～-0.30m。其东部和西部不符值差别较大，加拿大西部太平洋平均海面高于东部大西洋平均海面88cm，如前所述，这一偏差是NAVD88基准不在大地水准面上的缘故。利用四参数法将GSD95和GPS/水准大地水准面拟合后，经分析表明GSD95在几十千米距离上具有±（5～10）cm的精度。加拿大采用与美国相同的高程基准（NAVD88），先后研制了GSD91、GSD95、CGG2010大地水准面模型。CGG2010模型的构建过程融合了GOCO01S和EGM2008模型的中低阶重力场信息，中、长波部分的精度得到了显著提高，模型的分辨率达到了2′×2′，精度为±（2～10）cm。加拿大最新推出的重力大地水准面模型为CGG2013，消除系统误差后，其精度为±7.3cm，并基于此构建了新一代的大地水准面高程基准CGVD2013。
澳大利亚也致力于发展本国的高精度重力大地水准面模型，如AUSGeoid93、AUSGeoid98、AUSGeoid09系列。AUSGeoid09模型在建立过程中利用了高阶次的EGM2008地球重力场模型信息，因此实际观测数据对于大地水准面的贡献非常小。AUSGeoid09模型的分辨率为1′×1′，GPS/水准拟合后的精度为±3cm。
我国似大地水准面的确定经历了近半个世纪的发展过程，从20世纪50年代到70年代进行了全国一、二等天文重力水准的测量，建立了我国1954北京坐标系的第一代似大地水准面CLQG60（Chinese Local Quasi Geoid 1960），总体分辨率为200～500km，精度为2～4m，满足了当时建立国家天文大地网地面观测数据归算到参考椭球面对似大地水准面高和垂线偏差数据的需要。1928年4月在西安召开的全国天文大地网平差会议上，我国又将这一似大地水准面转换到新建立的1980西安大地坐标系。在此期间，围绕这一任务的完成，开展了相关的理论和实际计算技术的研究，创造了一些有效的模板计算方法，为以后进一步精化我国地球重力场，发展新一代似大地水准面奠定了技术基础。
20世纪70年代，在国家“六五”和“七五”计划期间，我国有关单位（如西安测绘研究所、原武汉测绘科技大学、中国科学院测量与地球物理研究所等）利用我国实测重力数据和全球1°×1°平均重力异常数据，分别研制了适用于我国的全球重力场模型，其中由原武汉测绘科技大学研制的WDM89（180阶）模型得到了分辨率为100km的模型大地水准面，分辨率和精度比CLQG60都有一定的改善。20世纪90年代初在国家测绘局“八五”攻关重点项目支持下，利用包括我国重力数据在内的全球30′×30′平均空间重力异常，研制成WDM94（360阶）全球重力场模型。相应的模型大地水准面的精度，在中国区域略优于当时公布的最好的美国OSU91（A）模型。同时利用全国约22万个重力点值（其中包括地球物理勘测部门提供的约6万个重力数据），以及30″×30″DTM和WDM94模型，计算了一个5′×5′中国大地水准面模型WZD94，其中重力归算采用了Airy-Heiskanen地形均衡归算系统，用Shepard曲面拟合方法内插形成2.5′×2.5′均衡异常格网值，再用30″×30″DTM数据将此格网值恢复为相同格网的平均空间异常，由取平均方法形成用于大地水准面计算的5′×5′格网平均空间异常。分别按Stokes公式和Molodensky级数解算，用一维FFT技术计算了大地水准面和似大地水准面格网值，整个计算采用GRS80系统基本参数。计算结果的精度检验和分析表明：东部地区（E108°以东）5′×5′平均空间重力异常的精度为±14mGal, 30′×30′平均空间重力异常的精度为±0.39mGal；西部地区（E108°以西）对应格网值的精度分别为±36mGal和±1.1mGal。重力大地水准面和似大地水准面的精度与7个地区的GPS/水准网作了相对精度的比较，大地水准面高的高差差值平均标准差为±0.20m，设网点平均距离为10km，相对精度为2×10-5。这里要指出的是，由于我国重力值的分布很不均匀，这一期间收集到的重力数据不够完善，所计算的重力大地水准面的实际分辨率在许多地区远低于5′×5′（10km）。另外对19个多普勒点进行绝对精度的比较，差值的平均标准差为±1.5m，其中主要为多普勒点的椭球高误差，估计为±0.5m。WZD94重力大地水准面仅是一个试验性的研究成果。
这一期间的研究工作主要是利用现有重力测量数据，按Stokes公式和Molodensky公式计算区域性绝对大地水准面，这仍然是国内外普遍采用的方法。我国跟踪了国外同类研究的先进水平，广泛应用了移去恢复技术和快速FFT计算技术，充分利用了高分辨率的地形数据和全球重力场模型，通过重力场的平滑内插，弥补了一些地区重力数据的稀疏和空白，在一定程度上改善了重力数据的分辨率，起到了精化大地水准面的作用，这些都是现代确定大地水准面的基本技术。通过这一阶段的研究工作，在理论研究水平上有所提高，改进和发展了一些计算技术，积累了较丰富的计算经验，为研究和确定我国新一代似大地水准面CQG2000打下了很好的技术基础。2011年，基于Stokes-Helmert移去—恢复理论，我国建立了新一代的大地水准面模型CNGG2011（李建成，2012），该模型的整体精度为±0.126m，东部地区精度为±0.062m，西部地区为±0.138m。