2.3.2 平面应变问题

平面应变问题与平面应力问题相反，物体的几何形状及受力有如下要求：

1.几何形状方面

①物体在一个方向（z轴）上的尺寸远大于另外两个方向上的尺寸；②物体截面中心轴线是平直的；③垂直于中心轴线（z轴）的所有截面不变。

2.受力特点

①所有外力均垂直于中心轴线，平行于中心轴线的所有外力分量均为0；②所有外力以及边界约束状态沿中心轴线长度方向（z轴）不变化。

这类物体的几何形状属于等截面直柱形体，假想该柱形体为无限长。对于外力沿中心轴线方向（z轴）均匀分布的无限长柱体，沿z轴的位移分量w≡0；任意取两个不同横截面，不仅几何形状是相同的，且变形情况也相同；位移分量与z轴无关，只与x和y有关，位移量可简化表示为

u=u（x，y），v=v（x，y），w=0

挡土墙、重力坝、隧道和输油管线等问题（见图2.7）很接近于平面应变问题。虽然这些结构不是无限长的，但实践证明，对于离开两端较远之处，按平面应变问题进行分析计算，得出的结果却是工程上可用的。但在靠近两端之处，横截面的形状及受力状态往往是变化的，并不符合平面应变问题的条件。

图2.7 平面应变问题

平面应变问题的应变分量满足几何方程，根据式（2.3），存在

可见，应变分量中下标与z有关的应变分量均为0，只剩下xOy平面内的三个应变分量ε_x、ε_y、γ_xy，应变分量表示为ε=｛ε_x　ε_y　γ_xy｝T。虽然该问题几何形状是空间三维的，但应变分量却是二维的，该类问题属于二维应变问题，故该类问题被称为平面应变问题。

根据式（2.2），有τ_yz=0，τ_zx=0，但

σ_z=μ（σ_x＋σ_y）≠0

σ_z的存在说明了垂直于z轴的截面之间存在相互挤压力。σ_z为应力分量σ_x和σ_y的一种组合，不能作为一个独立的基本未知量，研究所关注的是横截面内的三个应力分量σ_x、σ_y、τ_xy。

综上，无论是平面应力问题还是平面应变问题，均与z轴无关，应力、应变各三个分量，位移也只有x和y方向上的分量，平面问题只有8个基本未知量。将应力、应变、位移分量及外力分量统一用矢量表示如下：

应力分量σ=｛σ_x　σ_y　τ_xy｝T，应变分量ε=｛ε_x　ε_y　γ_xy｝T，位移分量f=｛uv｝T

体力分量F=｛XY｝T，面力分量F_s=｛X_N　Y_N｝T，集中力分量F₀=｛X₀　Y₀｝T