第1章 绪论Chapter 1

1.1 概述

在工程结构的设计过程中，分析结构应力和形变是不可或缺的关键环节。结构分析的实质就是分析结构在工作状态下，由外力载荷作用或者温度改变等因素引起的，在结构材料内部所产生的应力水平与分布状态、各点的位移以及结构形变。只有了解结构在工作过程中的应力与变形状态，才能对结构进行合理评价，判断结构是否安全，提出有针对性的改进建议或方案。

工程结构材料一般被视为弹性体，进行结构应力分析时往往可以归结为求解弹性力学问题。求解弹性力学问题的方法可分为解析法与数值法两大类。解析法是在一定假设的基础上，通过数学推导用具体的表达式来获得问题解答的方法，如逆法、半逆法、复变函数法、级数法、特殊函数法等方法都属于解析法。实际工程结构，往往会受到几何形状复杂、工作荷载多样性及材料特性等多种因素的影响，除了少数非常简单的问题外，绝大多数并不能得到解析形式的数学解答，采用解析法解决工程问题是非常困难的。

为了求解这些复杂问题，唯一的途径是应用数值法，获得问题的近似解。这种近似的数值结果能够满足工程设计精度要求，对结构评价、改进及优化设计具有不可替代的作用，如有限差分法、有限元法、边界元法等都属于数值求解方法。20世纪中期，随着计算机技术的发展，数值计算方法得到飞跃式发展，结构设计对数值分析方法的依赖更强。其中有限元法具有数学逻辑严谨、物理概念清晰、使用方便灵活、适应性强等特点，已成为当今最有效的一种求解各类工程问题的数值分析方法，被不同领域广泛应用。

现代有限元的起源可追溯到20世纪初，一些研究人员用离散的等价弹性杆来近似模拟连续的弹性体。人们公认柯兰特（Courant）是有限元法的奠基人，1943年，柯兰特发表了一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文，第一次假设挠曲函数在一个划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单的线性函数，这是第一次用有限元法处理连续体问题。1955年，德国斯图加特大学的J.H.Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文，奠定了有限元法的理论基础。

20世纪50年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了愈来愈高的要求，这就需要更精确的设计和计算。1956年，特纳（Turner）、克拉夫（Clough）等将刚架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计，系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正确解答。他们的研究工作开创了利用电子计算机求解复杂弹性力学问题的新纪元。1960年，克拉夫（Clough）第一次提出并使用“有限元法”（Finite Element Method，FEM）的名称。

有限元法在解决工程中应用问题时所取得的巨大成功，引起了数学界的高度关注。贝塞林（Besseling）和卞学鐄（T.H.Pian）等人的研究工作表明，有限元法实际上是弹性力学变分原理中瑞利-里茨法的一种形式，从而在理论上为有限元法奠定了数学基础。与变分原理相比，有限元法更为灵活，适应性更强，计算精度更高。先后出现了一系列基于变分原理的新型有限元模型，如有限条法、杂交法、混合元、非协调元、广义协调元等。1967年，监科维奇（Zienkiewicz）出版了第一本关于有限元分析的专著。

20世纪70年代之后，随着计算机技术和软件技术的发展，有限元法进入了飞跃发展期。在这一时期，人们对有限元法进行了深入研究，涉及内容包括数学和力学领域的基础理论，单元划分的原则，形函数的选取，数值计算方法及误差分析、收敛性和稳定性研究，计算机软件开发，非线性问题，大变形问题等。在有限元法的发展过程中，我国科学家冯康等人做出过杰出贡献，得到了国际学术界的认可。

目前，有限元法已成为一门成熟的学科，并已扩展到其他研究领域，成为科技工作者解决实际问题的有力工具。有限元法在应用上已远远超出了原来的范围，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题、波动问题、接触问题。研究的对象从弹性材料扩展到弹塑性、黏弹性、黏塑性复合材料，从均质到非均质、非线性材料。有限元的离散方法由结构分析扩展到热传递、流体流动及多孔材料渗流、电位或磁位分布等非结构问题。近些年，有限元法在生物力学工程领域也有应用，如人体骨骼、股关节、颌移植、树胶牙齿移植、心脏和眼睛的分析等。