1.5　条件概率与独立性

条件概率是概率论中的重要概念，它考虑的是事件A发生条件下，事件B发生的概率。

1.5.1　条件概率

设A和B是两个事件，P（A）＞0，称事件A发生条件下事件B发生的概率为条件概率，记为P（B|A）。对于条件概率有以下公式：

容易验证，条件概率满足概率定义中的以下3个条件。

（1）非负性：对任何事件B，总有P（B|A）≥0。

（2）整体性：对于必然事件S，有P（S|A）=1。

（3）可列可加性：对两两互斥的事件B1，B2，B3，…，Bn，…，即Bi∩Bj=∅（i≠j），有

这表明，对给定的随机事件A，条件概率P（■|A）也是概率，故对概率成立的结论对条件概率也成立。

【例1-14】　设某机器的使用寿命超过10年的概率为0.8，超过20年的概率为0.5，求该机器在使用10年后，再使用10年损坏的概率。

解：设A={机器使用超过10年}，B={机器使用超过20年}，则所求的概率为

代码如下：

     #第1章/1-7.py
     PA = 0.8
     PB = 0.5
     p = 1-PB/PA
     print('再使用10年损坏的概率为', p)

输出如下：

     再使用10年损坏的概率为0.375

由条件概率的定义，可得如下乘法定理。设P（A）＞0，则有

容易把乘法定理推广到多个事件。例如3个事件，不妨设A、B和C是随机事件，并且P（AB）＞0，则有

一般而言，对于两个随机事件A和B，事先并不能假设A对B没有影响，也就是说P（B|A）不一定等于P（B），但是如果两个事件A和B相互独立，则可以得出P（B|A）=P（B）的结论，这就是下面的随机事件独立性定义。

1.5.2　独立性

设A和B是两个事件，如果满足

则称事件A和B相互独立，简称A和B独立。

如果A和B相互独立，则有下面的结论：

（1）如果事件A和B相互独立，并且P（A）＞0，则P（B|A）=P（B）。

（2）事件的独立性具有以下两条性质：

（2.1）必然事件及不可能事件与任意事件互相独立。

（2.2）在四组事件A与与B、A与与中，如果有一组事件相互独立，则其余3组也相互独立。

独立性的概念也可推广到多个事件的情况，下面以3个事件为例加以说明。设A、B和C是3个事件，如果同时满足以下4个等式：

（1）P（A∩B）=P（A）P（B）

（2）P（A∩C）=P（A）P（C）

（3）P（C∩B）=P（C）P（B）

（4）P（A∩B∩C）=P（A）P（B）P（C）

则称事件A、B和C互相独立。

一般来讲，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对于其中任意两个，任意三个，…，任意n个事件的积事件的概率都等于各个事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An互相独立。由此定义可得如下两个结论：

（1）如果事件A1，A2，…，An互相独立，则其中任意k个事件也是互相独立的。

（2）如果事件A1，A2，…，An互相独立，则将A1，A2，…，An换成它们的对立事件，所得的n个事件也独立。

在解决实际问题的时候，一般凭经验来判断事件的独立性，然后利用定义去求事件的概率。为了研究某些现象需要做一系列试验，例如连续多次投掷同一枚硬币；在一批产品中随机抽取若干测试它们的使用寿命，这样的试验序列往往是相互独立的，称为独立重复试验。再例如，甲乙两人患感冒，如果两人的活动范围没有交集，就认为甲乙相互独立，反之，如果甲乙两人住在同一宿舍，则不能认为两人互相独立。

【例1-15】　甲乙两人进行网球比赛，每局比赛甲获胜的概率为p，p≥1/2。那么对于对甲而言，采用三局两胜有利还是采用五局三胜有利？假设每局比赛相互独立。

解：如果采用三局两胜，则甲获胜的可能性为“甲甲”“乙甲甲”“甲乙甲”3种，而且这3种结局互不相容，那么甲最终获胜的概率为

p1=p2+2p2（1-p）

如果采用五局三胜制，甲要想胜利需要三场胜利，可能的获胜局面是“甲甲甲”“甲乙甲甲”“甲甲乙甲”“乙甲甲甲”“甲甲乙乙甲”“甲乙甲乙甲”“乙乙甲甲甲”“乙甲甲乙甲”“乙甲乙甲甲”“甲乙乙甲甲”，且这10种结局互不相容，那么甲最终获胜的概率为

p2=p3+3p3（1-p）+6p3（1-p）2

比较p1和p2的大小：

p2-p1=p2（6p3-15p2+12p-3）=3p2（p-1）2（2p-1）

当p＞1/2时，p2大于p1，故当p＞1/2时，对甲来讲采用五局三胜制更有利。

代码如下：

     #第1章/1-8.py
     from sympy import *
     p = symbols('p')
     d = p ** 2 * (6 * p ** 3-15 * p ** 2 + 12 * p-3)
     print('提取公因式为', d.factor())

输出如下：

     提取公因式为3 * p ** 2 * (p-1) ** 2 * (2 * p-1)