1.2 事件的关系与运算
本节介绍事件之间的关系与运算规律。
1.2.1 事件的关系与运算
由于事件是样本空间的一个子集，因而事件的关系与运算就是集合的关系与运算。事件的运算主要有并、交、差等。
（1）并集：“事件A与B至少有一个发生”的事件称为事件A与B的并集，记为A∪B。
（2）交集：“事件A与B同时发生”的事件称为事件A与B的交集，记为A∩B或AB。
（3）差集：“事件A发生而事件B不发生”的事件称为A与B的差集，记为A-B；“事件B发生而事件A不发生”的事件称为B与A的差集，记为B-A。
事件的关系主要有包含、相等、相容、互斥、对立等。
（1）包含：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊆B。
（2）相等：如果A⊆B且B⊆A，则称事件A=B。也就是说，A与B由完全相同的试验结果构成，它们是同一事件，只是说法不同而已。
（3）相容与互斥：如果A∩B=∅，则称事件A与B不相容，或A与B互斥；如果A∩B≠∅，则称事件A与B相容。互斥的事件不能同时发生。
（4）对立：如果A∩B=∅且A∪B=S，则称事件A与B对立，或A与B互为对立事件。也就是说，每次试验事件A与B必有一个发生，并且仅有一个发生。A的对立事件记为
。
【例1-2】 设A、B和C是随机事件，则结论正确的是（ ）。
A．当AB=AC时，必有B=C
B．当AB⊇AC时，必有B⊇C
C．当AB=∅且A=B时，必有A=∅
D．当AB=A时，必有A=B
解：当A=B且AB=∅时，有A=A，必有A=∅，即选C。
【例1-3】 从一批产品中每次抽一件不放回，如此抽取三次，用Ai（i=1，2，3）表示事件“第i次取到的产品为正品”。
（1）用文字叙述下列事件：A1A2∪A2A3∪A1A3，
。
（2）用Ai（i=1，2，3）表示下列事件：至少取到2件次品，最多取到2件正品。
解：（1）A1A2∪A2A3∪A1A3表示至少取到2件正品或最多取到1件次品。
表示至少取到1件次品或最多取到2件正品。
（2）至少取到2件次品：
；最多取到2件正品：
。
1.2.2 事件的运算律
事件的运算满足以下规律。
（1）交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A。
（2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。
（3）分配律：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。
（4）对偶律或德摩根律：
。
【例1-4】 设A、B和C是随机事件，A的发生必然导致B与C最多有一个发生，则有（ ）。
A．A⊆BC
B．A⊇BC
C．
D．
解：B与C最多有一个发生就是B与C不能同时发生，即
。A导致了
就是
，也就是
，选D。
【例1-5】 设A和B满足关系式
，则必有（ ）。
A．A-B=∅
B．AB=∅
C．
D．
解：因为
，所以
，即
，也就是
，AB=∅。选B。
【例1-6】 设A、B和C是随机事件，则结论正确的是（ ）。
A．当A∪C=B∪C时，就有B=A
B．当A-C=B-C时，就有B=A
C．当A-B=C时，就有A=B∪C
D．当
时，就有ABC=∅
解：当
时，有
。选D。
事件的运算律，代码如下：
#第1章/1-1.py
import numpy as np
#全集
Omega = np.array(range(23))
A = np.array([0, 3, 4, 5, 23, 7])
B = np.array([3, 5, 14, 15, 18, 7, 9])
C = np.array([13, 5, 0, 15, 18, 17, 19])
print('样本空间为', Omega)
print('集合A为', A)
print('集合B为', B)
print('集合C为', C)
#交换律
print('交换律:')
AB = np.intersect1d(A, B)
BA = np.intersect1d(B, A)
AB2 = np.union1d(A, B)
BA2 = np.union1d(B, A)
print('A交B等于', AB)
print('B交A等于', BA)
print('A并B等于', AB2)
print('B并A等于', BA2)
#结合律
print('结合律:')
t1 = np.union1d(np.union1d(A, B), C)
print('(A并B)并C为', t1)
t2 = np.union1d(A, np.union1d(B, C))
print('A并(B并C)为', t2)
t1 = np.intersect1d(np.intersect1d(A, B), C)
print('(A并B)并C为', t1)
t2 = np.intersect1d(A, np.intersect1d(B, C))
print('A并(B并C)为', t2)
#分配律
print('分配律:')
t1 = np.intersect1d(A, np.union1d(B, C))
t2 = np.union1d(np.intersect1d(A, B), np.intersect1d(A, C))
print('A交(B并C)为', t1)
print('(A交B)并(A交C)为', t2)
t1 = np.union1d(A, np.intersect1d(B, C))
t2 = np.intersect1d(np.union1d(A, B), np.union1d(A, C))
print('A并(B交C)为', t1)
print('(A并B)交(A并C)为', t2)
#对偶律
print('对偶律:')
a = np.intersect1d(A, B)
t1 = np.setdiff1d(Omega, a)
print('(A交B)的补集为', t1)
t2 = np.union1d(np.setdiff1d(Omega, A), np.setdiff1d(Omega, B))
print('A补并B补为', t2)
a = np.union1d(A, B)
t1 = np.setdiff1d(Omega, a)
print('(A并B)的补集为', t1)
t2 = np.intersect1d(np.setdiff1d(Omega, A), np.setdiff1d(Omega, B))
print('A补并B补为', t2)
输出如下：
样本空间为[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22]
集合A为[0 3 4 5 23 7]
集合B为[3 5 14 15 18 7 9]
集合C为[13 5 0 15 18 17 19]
交换律:
A交B等于[3 5 7]
B交A等于[3 5 7]
A并B等于[0 3 4 5 7 9 14 15 18 23]
B并A等于[0 3 4 5 7 9 14 15 18 23]
结合律:
(A并B)并C为[0 3 4 5 7 9 13 14 15 17 18 19 23]
A并(B并C)为[0 3 4 5 7 9 13 14 15 17 18 19 23]
(A并B)并C为[5]
A并(B并C)为[5]
分配律:
A交(B并C)为[0 3 5 7]
(A交B)并(A交C)为[0 3 5 7]
A并(B交C)为[0 3 4 5 7 15 18 23]
(A并B)交(A并C)为[0 3 4 5 7 15 18 23]
对偶律:
(A交B)的补集为[0 1 2 4 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22]
A补并B补为[0 1 2 4 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22]
(A并B)的补集为[1 2 6 8 10 11 12 13 16 17 19 20 21 22]
A补并B补为[1 2 6 8 10 11 12 13 16 17 19 20 21 22]