指数增长的魅力

一旦这种双倍增长的趋势持续一段时间，后面的数字就会推翻前面的，前面的数字也就变得毫无相关了。为了想清楚这一点，让我们看一个假设的例子。想象一下，埃里克给了安迪一只毛球——也就是在《星际迷航》中那个长着绒毛且有着很高繁殖能力的毛球Tribble。每天，每只毛球会繁殖一只毛球，因此安迪的小动物园的规模每天都会增长一倍。这时候一般人都会说，毛球家族呈现的是指数增长。那是因为，在经过x天之后，如果用数学公式来表达的话，毛球的数量将是2x–1，这里的x–1就是一个指数。像这样的指数增长是一种非常快的增长模式，在两周之后，安迪就会拥有1.6万只毛球了。下面这张图（图3–1）所描绘的就是毛球家族随着时间而增长的趋势。

图3–1 随时间增长的毛球：持续双倍增长的力量

这张图是非常准确的，但会给人一种误导。它看起来就好像是，所有的增长都发生在最后那些天里，而在第一周时间没有任何事情发生。但同样的奇迹——每天成倍增长的毛球，一直在所有时间里发生，并没有加速或突然爆发。这种稳定的指数增长是埃里克给安迪的“礼物”中真正有趣的事情。为了阐述得更明白点，我们必须要修改这张图表中的数量间隔。

前面我们绘制的这张图（图3–1）所使用的是标准的线性间隔，也就是说竖轴的每段分割指示的都是2000多只毛球。正如我们看到的，这样绘制的图非常清晰明了，但它却不利于充分说明指数增长。为了更好地强调这一点，我们将把线性间隔修改为对数间隔，也就是说竖轴的每一段分隔都代表的是毛球数量10倍的增长：第一次增长从1～10，然后从10～100，再之后从100～1000，依次类推。也就是说，我们在竖轴上用10倍的间隔标示数量级的增长（图3–2）。

图3–2 随时间增长的毛球：持续双倍增长的力量

对数图有一个非常出色的特征：它们可以把指数增长显示为一条完美的直线。图3–2就是用对数标尺标示的安迪毛球家族的增长趋势。

对数图强调的是随着时间的增长双倍增长的稳定性，而不是最后时间的大规模增长。正因为此，我们经常使用对数标尺来绘制双倍增长以及其他一系列指数增长的趋势。这种图凭借一条直线就能清晰地评估速度的增长：指数越大，增长得越快，图中直线的斜率就会越大。